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精英家教網質量為M的圓環用細線(質量不計)懸掛著,將兩個質量均為m的有孔小珠套在此環上且可以在環上做無摩擦的滑動,如圖所示,今同時將兩個小珠從環的頂部釋放,并沿相反方向自由滑下,試求:
(1)在圓環不動的條件下,懸線中的張力T隨cosθ(θ為小珠和大環圓心連線與豎直方向的夾角)變化的函數關系,并求出張力T的極小值及相應的cosθ值;
(2)小珠與圓環的質量比
mM
至少為多大時圓環才有可能上升?
分析:(1)對其中任一小珠研究,根據機械能守恒求得速度與θ的關系式,小珠做圓周運動,指向圓心的合力提供向心力,根據牛頓第二定律求出小珠所受的圓環的彈力,再根據牛頓第三定律得到小珠對圓環的彈力,圓環處于靜止狀態,由平衡條件求出T與θ的關系式,再根據數學知識分析極小值及相應的cosθ值;
(2)當圓環所受的合力向上時,有可能上升,根據上問的結果進行討論.
解答:解:(1)設小珠和大環圓心連線與豎直方向的夾角為θ時小珠的速度大小為v.
根據機械能守恒定律得:
  
1
2
mv2
=mgR(1-cosθ)
設圓環對小珠的彈力大小為N,由牛頓第二定律得
  mgcosθ-N=m
v2
R

對于圓環,合力為零,則有
  T=Mg+2Ncosθ
聯立以上三式得:Ncosθ=6mgcos2θ-4mgcosθ,T=Mg+6mgcos2θ-4mgcosθ 
根據拋物線方程知,當cosθ=-
b
2a
=-
-4mg
12mg
=
1
3
時,T有極小值,極小值為Tmin=Mg-
2
3
mg

(2)由上知,Tmin=Mg-
2
3
mg
,說明此時小珠對圓環的作用力的合力方向向上,大小為N′=
2
3
mg

當N′>Mg時,圓環將會上升,則有Tmin=Mg-
2
3
mg
<0
解得,
m
M
3
2

答:(1)在圓環不動的條件下,懸線中的張力T隨cosθ變化的函數關系是T=Mg+6mgcos2θ-4mgcosθ,張力T的極小值是Mg-
2
3
mg
,相應的cosθ值是
1
3
;
(2)小珠與圓環的質量比
m
M
至少為
2
3
時圓環才有可能上升.
點評:本題運用機械能守恒、圓周運動、力平衡條件結合推導出T的表達式,再根據數學知識求解T的極小值.
練習冊系列答案
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質量為M的圓環用細線(質量不計)懸掛著,將兩個質量均為m的有孔小珠套在此環上且可以在環上做無摩擦的滑動,如圖所示,今同時將兩個小珠從環的頂部釋放,并沿相反方向自由滑下,試求:

(1)在圓環不動的條件下,懸線中的張力T隨cosθ(θ為小珠和大環圓心連線與豎直方向的夾角)變化的函數關系,并求出張力T的極小值及相應的cosθ值;

(2)小球與圓環的質量比至少為多大時圓環才有可能上升?

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科目:高中物理 來源: 題型:

質量為M的圓環用細線(質量不計)懸掛著,將兩個質量均為m的有孔小珠套在此環上,且可以在環上做無摩擦的滑動,如圖所示,今同時將兩個小珠從環的頂部釋放,并沿相反方向自由滑下,試求:

(1)在圓環不動的條件下,懸線中的張力T隨cosθ變化的函數關系,并求出張力T的極小值及相應的角θ(θ為小珠與圓環圓心連線與豎直方向的夾角)

(2)小球與圓環的質量比m/M至少為多大時圓環才有可能上升?

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質量為M的圓環用細線(質量不計)懸掛著,將兩個質量均為m的有孔小珠套在此環上且可以在環上做無摩擦的滑動,如圖所示,今同時將兩個小珠從環的頂部釋放,并沿相反方向自由滑下,試求:

(1)在圓環不動的條件下,懸線中的張力T隨為小珠和大環圓心連線與豎直方向的夾角)變化的函數關系,并求出張力T的極小值及相應的值;
(2)小珠與圓環的質量比至少為多大時圓環才有可能上升?

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質量為M的圓環用細線(質量不計)懸掛著,將兩個質量均為m的有孔小珠套在此環上且可以在環上做無摩擦的滑動,如圖所示,今同時將兩個小珠從環的頂部釋放,并沿相反方向自由滑下,試求:
(1)在圓環不動的條件下,懸線中的張力T隨cosθ(θ為小珠和大環圓心連線與豎直方向的夾角)變化的函數關系,并求出張力T的極小值及相應的cosθ值;
(2)小珠與圓環的質量比至少為多大時圓環才有可能上升?

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