Question

一彈性小球自h₀=5m高處自由落下，當它與水平地面每碰撞一次后，速度減小到碰前的

7

9

，不計每次碰撞時間，計算小球從開始下落到停止運動所經過的時間．

Answer 1

分析：小球自h₀=5m高處自由落下，求出第一次落地時的速度，由題得到第二、三、四…次落地的速度．第一次小球做自由落體運動，以后撞地后，小球做豎直上拋運動，由t=

2v0

g

求豎直上拋的時間，根據規律，由數學知識求解總時間．

解答：解：小球第一次落地時速度為
     v₀=

2gh0

=10m/s
由題小球第2，3，4…（n+1）次落地時速度分別為
   v₁=

7

9

v0
   v₂=(

7

9

)2v0
   v₃=(

7

9

)3v0
  …
  v_n=(

7

9

)nv0
小球第1下落時間為
  t₀=

2h0 g

=1s
小球從第1次與地面相撞到第2次與地面相撞經過的時間為
    t₁=

2v1

g

=

2× 7 9 v0

g

=2×

7

9

s
小球從第2次與地面相撞到第3次與地面相撞經過的時間為
    t2=

2v2

g

=2×(

7

9

)2s
小球從第3次與地面相撞到第4次與地面相撞經過的時間為
    t₃=

2v3

g

=2×(

7

9

)3s
     …
由數學歸納推理得
   小球從第n次與地面相撞到第（n+1）次與地面相撞經過的時間為
    t_n=2×(

7

9

)n
所以小球運動的總時間為
   t=t₁+t₂+t₃+…+t_n=1s+2×（（

7

9

）+（

7

9

）²+（

7

9

）³+…+（

7

9

）ⁿ）s
=1s+2×

7 9

1- 7 9

s=8s
答：小球從開始下落到停止運動所經過的時間是8s．

點評：本題應用數學歸納法解決物理的能力，這是高考考查的重要內容之一．