Question

（20分）惰性氣體分子為單原子分子，在自由原子情形下，其電子電荷分布是球對稱的。負電荷中心與原子核重合。但如兩個原子接近，則彼此能因靜電作用產生極化（正負電荷中心不重合），從而導致有相互作用力，這稱為范德瓦爾斯相互作用。下面我們采用一種簡化模型來研究此問題。

當負電中心與原子核不重合時，若以x表示負電中心相對正電荷（原子核）的位移，當x為正時，負電中心在正電荷的右側，當x為負時，負電中心在正電荷的左側，如圖1所示。這時，原子核的正電荷對荷外負電荷的作用力f相當于一個勁度系數為k的彈簧的彈性力，即f=－kx，力的方向指向原子核，核外負電荷的質量全部集中在負電中心，此原子可用一彈簧振子來模擬。

今有兩個相同的惰性氣體原子，它們的原子核固定，相距為R，原子核正電荷的電荷量為q，核外負電荷的質量為m。因原子間的靜電相互作用，負電中心相對各自原子核的位移分別為x₁和x₂，且|x₁|和|x₂|都遠小于R，如圖2所示。此時每個原子的負電荷除受到自己核的正電荷作用外，還受到另一原子的正、負電荷的作用。

眾所周知，孤立諧振子的能量E=mv²+kx²是守恒的，式中v為質量m的振子運動的速度，x為振子相對平衡位置的位移。量子力學證明，在絕對零度時，諧振子的能量為hω，稱為零點振動能，，h為普朗克常量，為振子的固有角頻率。試計算在絕對零度時上述兩個有范德瓦爾斯相互作用的惰性氣體原子構成的體系的能量，與兩個相距足夠遠的（可視為孤立的、沒有范德瓦爾斯相互作用的）惰性氣體原子的能量差，并從結果判定范德瓦爾斯相互作用是吸引還是排斥。可利用當|x|<<1時的近似式≈1+x－x²，(1+x)^-1≈1－x+x²。

Answer 1

解析：

兩個相距R的惰性氣體原子組成體系的能量包括以下幾部分：每個原子的負電中心振動的動能，每個原子的負電中心因受各自原子核“彈性力”作用的彈性勢能，一個原子的正、負電荷與另一原子的正、負電荷的靜電相互作用能.以和分別表示兩個原子的負電中心振動速度，和分別表示兩個原子的負電中心相對各自原子核的位移，則體系的能量

   (1)

式中U為靜電相互作用能  

(2)

為靜電力常量．因，，，利用，可將(2)式化為

                                         (3)

因此體系總能量可近似表為

   (4)

注意到和 ，可將(4)式改寫為

     (5)

式中，

，                                      (6)

，                                      (7)

，                                       (8)

．                                      (9)

(5)式表明體系的能量相當于兩個獨立諧振子的能量和，而這兩個振子的固有角頻率分別為

，                                 (10)

.                                  (11)

在絕對零度，零點能為

，                                     (12)

兩個孤立惰性氣體原子在絕對零度的能量分別表示為和，有

，                                      (13)

式中

                                                      (14)

為孤立振子的固有角頻率．由此得絕對零度時，所考察的兩個惰性氣體原子組成的體系的能量與兩個孤立惰性氣體原子能量和的差為

．                                (15)

利用，可得

．                                  (16)

，表明范德瓦爾斯相互作用為相互吸引．

評分標準：本題20分。

(1)式1分，(2)式3分，(4)式3分，(10)、(11)式各4分， (12)式2分， (16)式2分，末句說明占1分。