Question

我國第一顆繞月球探測衛星“嫦娥一號”于2007年10月24日18時05分在西昌衛星發射中心由“長征三號甲”運載火箭發射升空，經多次變軌于11月7日8時35分進入距離月球表面200公里，周期為127分鐘的月圓軌道．已知月球的半徑、萬有引力常量，則可求出（　　）

A．月球質量

B．月球的密度

C．探測衛星的質量

D．月球表面的重力加速度

Answer 1

分析：由題意可知，可以求出衛星的軌道半徑，衛星繞月球做勻速圓周運動，由月球的萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律和密度公式分析能否求出月球的質量和密度．根據月球對衛星的萬有引力等于衛星的重力，得到月球表面的重力加速度．

解答：解：設該衛星的運行周期為T、質量為m，月球的半徑為R、質量為M，
衛星距月球表面的高度為h，由題意知，衛星的軌道半徑r=R+h，
“嫦娥一號”衛星繞月球做圓周運動，萬有引力提供向心力，
由牛頓第二定律得：G

Mm

(R+h)2

=m(

2π

T

)2（R+h），
則月球質量M=

4π2(R+h)3

GT2

，衛星的質量m被約去，不能求衛星質量，故A正確，C錯誤；
月球的密度ρ=

M

V

=

4π2(R+h)3 GT2

4 3 πR3

=

3π(R+h)3

GT2R3

，故B正確；
位于月球表面的物體m′受到的萬有引力等于其重力，
則G

Mm′

R2

=m′g，則月球表面的重力加速度g=

GM

R2

=

4π2(R+h)3

T2R2

，故D正確；
故選ABD．

點評：已知衛星的運行周期和軌道半徑，可求出月球的質量，這個結果可推廣到行星繞太陽：若已知行星的公轉半徑和周期，可求出太陽的質量．