Question

（2010?鹽池縣模擬）航天飛機，可將物資運送到空間站，也可維修空間站出現的故障．   
（1）若已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，某次維修作業中，與空間站對接的航天飛機的速度計顯示飛機的速度為v，則該空間站軌道半徑R′為多大？
（2）為完成某種空間探測任務，在空間站上發射的探測器通過向后噴氣而獲得反沖力使其啟動．已知探測器的質量為M，每秒鐘噴出的氣體質量為m，為了簡化問題，設噴射時探測器對氣體做功的功率恒為P，在不長的時間 內探測器的質量變化較小，可以忽略不計．求噴氣t秒后探測器獲得的動能是多少？

Answer 1

分析：（1）根據地球表面重力加速度公式和萬有引力等于向心力聯立求解出空間站的軌道半徑；
（2）對t秒內噴出的氣體運用動能定理求出噴氣速度，再根據動量守恒定律求出探測器的速度，進一步求出探測器的動能．

解答：解：（1）設地球質量為M₀，在地球表面
          g=G

M0

R2

設空間站質量為m′繞地球作勻速圓周運動時
           G

M0m′

R′2

=m′

v2

R′

聯立解得
          R′=

R2g

v2

即該空間站軌道半徑R′為

R2g

v2

．

（2）因為探測器對噴射氣體做功的功率恒為P，而單位時間內噴氣質量為m，故在t時間內，據動能定理
          Pt=

1

2

mtv²
求得噴出氣體的速度為
         v=

2p m

另一方面探測器噴氣過程中系統動量守恒，則：
         0=mtv-Mu
又
        E_k=

1

2

Mu²
聯立得探測器獲得的動能：
         E_k=

1

2

M（

mt

M

-

2p m

）²=

mpt2

M

噴氣t秒后探測器獲得的動能是

mpt2

M

．

點評：對于衛星類問題，通常都要用到萬有引力等于向心力；應用動能定理要明確研究對象，反沖運動中系統動量一般都守恒！