Question

向空間發展最具有可能的是在太陽系內地球附近建立“太空城”，如圖13甲所示是設想中的一個太空城，長1 600 m，直徑200 m，上下分8層，窗口和人造陸地交錯分布，“陸地”上土壤厚1.5 m，窗外有巨大鋁制反射鏡可調節陽光射入.太空城空氣、水、食品和土壤最初可以從地球、月球運送，以后則在太空里形成與地球同樣的生態環境.

圖13

（1）為使太空城的居民能如同在地球上一樣具有“重力”，以適應人類在地球上的行為習慣，太空城在電力驅動下繞自己的中心軸OO′以一定角速度轉動，試求其轉動的角速度.

（2）實際上，月球不是繞著地心公轉，而是地球、月球在相互的引力作用下繞它們連線上的一固定點C做勻速轉動，如圖乙.試求該點C與地球球心的距離.（設地球質量為M₁，月球質量為M₂，地月中心距離為r）

（3）太空城的首選位置在與月球、地球相距為r的D處，如圖13乙所示，這里，太空城在月球、地球引力的共同作用下，相對地球、月球靜止.試證明太空城受地球、月球對其合力方向指向C點.

Answer 1

解析：（1）由g=ω₁²·得

ω₁=

= rad/s

= rad/s

=0.316 rad/s.

（2）如題圖乙，設AC=r₁，CB=r₂.地球、月球間的引力提供各自繞固定點C轉動的向心力.

=M₂ω²r₂①

=M₁ω²r₁②

r₁+r₂=r③

由①②③得：ω=,

r₂=r,r₁=r.

（3）在右圖中作AE∥BD交DC延長線于E點，再作EH∥AD交BD于H點.

因△AEC∽△BDC，得：==

又=，

可得：=，

又AD=DB，DH=AE，

得： =④

又據F₁=,F₂=,

得：=⑤

由④⑤得：=，

所以F₁、F₂的合力方向與平行四邊形ADHE的對角線DE方向重合，即證F₁、F₂的合力指向C點.

答案：（1）0.316 rad/s

（2）r

（3）略