Question

如圖（a）所示，兩水平放置的平行金屬板C、D相距很近，上面分別開有小孔O、O′，水平放置的平行金屬導軌與C、D接觸良好，且導軌在磁感強度為B₁=10T的勻強磁場中，導軌間距L=0.50m，金屬棒AB緊貼著導軌沿平行導軌方向在磁場中做往復運動．其速度圖象如圖（b）所示，若規定向右運動速度方向為正方向，從t=0時刻開始，由C板小孔O處連續不斷以垂直于C板方向飄入質量為m=3.2×10^-21kg、電量q=1.6×10^-19C的帶正電的粒子（設飄入速度很小，可視為零）．在D板外側有以MN為邊界的勻強磁場B₂=10T，MN與D相距d=10cm，B₁、B₂方向如圖所示（粒子重力及其相互作用不計）．求：
（1）在0～4.0s時間內哪些時刻發射的粒子能穿過電場并飛出磁場邊界MN？
（2）粒子從邊界MN射出來的位置之間最大的距離為多少？

Answer 1

分析：（1）粒子要飛出磁場邊界MN，速度最小時，軌跡半徑也最小，恰好與MN相切，可得到軌跡半徑為d．根據粒子圓周運動的半徑r=

mv

qB2

求出粒子進入磁場的速度，即為加速獲得的末速度，再由動能定理求出加速電壓U，由U=ε=B₁Lv 求出AB運動的速度，由乙圖可求出所求的量．
（2）當AB棒速度最大，產生的感應電動勢最大，CD板間電壓最大，粒子經加速得到的速度最大，在磁場中軌跡半徑也最大，粒子出MN邊時，偏轉距離最小，根據法拉第定律、動能定理和半徑公式結合，并運用幾何知識求得粒子從邊界MN射出來的位置之間最大的距離．

解答：解：（1）由右手定則可判斷AB向右運動時，C板電勢高于D板電勢，粒子被加速進入B₂磁場中，AB棒向右運動時產生的電動勢E=B₁Lv（即為C、D間的電壓）．粒子經過加速后獲得的速度為v′，則有qE=

1

2

mv′²，粒子在磁場B₂中做勻速圓周運動，半徑r=

mv′

qB2

．要使粒子恰好穿過，則有r=d．
?聯立上述各式代入數據可得　v=5.0m/s．
?故要使粒子能穿過磁場邊界MN則要求v＞5m/s．
?由速度圖象可知，在0.25s＜t＜1.75s可滿足要求．
?（2）當AB棒速度為v=5m/s時，粒子在磁場B₂中到達邊界MN打在P點上，其軌道半徑r=d=0.1m（此時

.

O′P′

=r=0.1m）如圖所示．
    此時粒子向左的位移最大，出射點P與O’的水平距離為d=10cm．
 當AB棒速度最大，即v′=20m/s時產生感應電動勢為：ε′=B₁Lv′=100V
 此時帶電粒子經加速后速度為v，由動能定理有：q?′=

1

2

m

v

2 0

代入數據，解得：v=100m/s
此時帶電粒子的軌跡半徑為：R′=

mv0

qB2

=

3.2×10-21×100

1.6×10-19×10

=0.2m
出射點Q與O’的水平距離為：x=R′-

R′2-d2

=0.2-

0．22-0．12

=0.027m=2.7cm
粒子從邊界MN射出來的位置間最大距離為S=d-x═10cm-2.7cm=7.3cm
答：（1）0到4.0s內0.25s＜t＜1.75s時刻從O處飄入的粒子能穿過電場并飛出磁場邊界MN．
 （2）粒子從邊界MN射出來的位置之間最大的距離為7.3cm

點評：本題是電磁感應與帶電粒子在磁場中運動的綜合，要注意挖掘臨界條件，掌握電磁學基本知識和基本的分析思路，屬于中檔題．