Question

質量為m的小球固定在光滑輕細桿的上端，細桿通過光滑的限位孔且保持豎直．在光滑水平面上放置一個質量為M=2m的凹形槽，凹形槽的光滑內表面如圖所示，AB部分是斜面，與水平面成θ=30°，BCD部分是半徑為R的圓弧面，AB與BCD兩面在B處相切．讓細桿的下端與凹形槽口的左邊緣A點接觸．現將小球釋放，求：
（1）當輕細桿的下端滑到凹形槽的最低點C時，凹形槽的速度是多大；
（2）輕細桿的下端能否運動到凹形槽口的右邊緣 D點；（回答“能”或“不能”，并簡述理由）
（3）當輕細桿的下端滑到B點的瞬間，小球和凹形槽的速度各是多大．

Answer 1

分析：（1）當輕細桿的下端運動到最低點C時，小球的速度為零．以小球和凹形槽組成的系統，機械能守恒，根據機械能守恒定律求出凹形槽的速度．
（2）判斷系統有無能量損失，若滿足機械能守恒，則可以到達D點；
（3）當輕細桿的下端滑到B點的瞬間，根據運動的合成與分解槽和球的速度關系，再由系統機械能守恒求出兩個物體的速度．

解答：解：（1）當輕細桿的下端運動到最低點C時，小球的速度為零，小球減少的重力勢能轉化為凹形槽的動能，由能量轉化守恒定律mgR=

1

2

Mv2
   又因為：M=2m
得凹形槽的速度：v=

gR

（2）能．原因：球、滑塊組成的系統滿足機械能守恒．        
（3）當輕細桿的下端從A點相對滑動到B點時，
小球的速度v₁與凹形槽的速度v₂之間的關系如右圖所示：得：v₁=v₂tanθ
由系統能量轉化守恒定律    mgRcosθ=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

M

v

2 2

    又   M=2m
解得：v1=

3 gR 7

    v2=

3 3 gR 7

答：（1）當輕細桿的下端滑到凹形槽的最低點C時，凹形槽的速度是v=

gR

；
（2）輕細桿的下端能運動到凹形槽口的右邊緣 D點，因為系統機械能守恒；
（3）當輕細桿的下端滑到B點的瞬間，小球和凹形槽的速度分別是v1=

3 gR 7

和v2=

3 3 gR 7

點評：本題難點在于分析小球的速度與凹形槽的速度的關系，關鍵理解物體的實際運動為合運動，根據合運動與分運動的矢量關系求解速度關系．