Question

20．據報道，目前我國正在研制“螢火二號”火星探測器．探測器升空后，先在近地軌道上以線速度v環繞地球飛行，在適當的位置P點火，進入Q點后被火星俘獲，最后再一次調整速度以線速度v′在火星表面附近環繞飛行，若認為地球和火星都是質量分布均勻的球體，已知火星與地球的半徑之比為1：2，密度之比為5：7，設火星與地球表面重力加速度分別為g′和g，下列結論正確的是（　　）

• A． g′：g=4：1
• B． 在P點啟動火箭向運動方向噴氣
• C． v′：v=$\sqrt{\frac{5}{28}}$
• D． v′：v=$\sqrt{\frac{5}{14}}$

Answer 1

分析 在星球表面的物體受到的重力等于萬有引力$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$，根據質量與密度的關系，代入化簡可得出重力加速度與密度和半徑的關系，進一步計算重力加速度之比．
根據根據牛頓第二定律有：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$和M=ρ•$\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$化簡解出速度的表達式，代入數據化簡可得速度之比．

解答 解：A、在星球表面的物體受到的重力等于萬有引力G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，所以g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$=$\frac{G•ρ•\frac{4}{3}π{R}^{3}}{{R}^{2}}$=$\frac{4}{3}$πGρR，則$\frac{g′}{g}$=$\frac{ρ′}{ρ}$•$\frac{R′}{R}$=$\frac{5}{7}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{14}$，故A錯誤；
B、在P點變軌時，啟動火箭向后噴氣，使之做離心運動，才能逐漸脫離地球的引力束縛．故B錯誤；
CD、探測器繞地球表面運行和繞月球表面運行都是由萬有引力充當向心力，根據牛頓第二定律有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，得v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$ ①，M為中心天體質量，R為中心天體半徑．M=ρ•$\frac{4}{3}$πR³②由①②得：v=$\sqrt{\frac{4πGρ{R}^{2}}{3}}$；已知地球和火星的半徑之比為1：2，密度之比為5：7，所以探測器繞地球表面運行和繞月球表面運行線速度大小之比為：
$\frac{v′}{v}$=$\sqrt{（\frac{R′}{R}）^{2}\frac{ρ′}{ρ}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}×\frac{5}{7}}$=$\sqrt{\frac{5}{28}}$
故C正確、D錯誤．
故選：C

點評 解決本題的關鍵掌重力等于萬有引力這個關系，求一個物理量，我們應該把這個物理量先用已知的物理量表示出來，再根據表達式進行比較求解．