Question

【題目】如圖所示，光滑的四分之一圓弧與光滑水平軌道在最低平滑連接。現有一質量為m的小球P沿光滑的四分之一圓弧上由靜止開始下滑，與一質量為km（k>0，未知）的靜止在光滑水平地面上的等大的小球Q發生正碰撞。設碰撞是彈性的，且一切摩擦不計。

(1)為使二者能且只能發生一次碰撞，則k的值應滿足什么條件？

(2)為使二者能且只能發生兩次碰撞，則k的值應滿足什么條件？

Answer 1

【答案】(1)；(2)

【解析】

(1)設P與Q碰撞前P的速度為，碰后P與Q的速度分別為與，由動量守恒及機械能守恒定律有

由此解得

若，則

P、Q不可能發生第二次碰撞；

若，為使P從坡上滑下后再不能追上Q，應有

即

這導致

P、Q不可能發生第二次碰撞；為使二者能且只能發生一次碰撞，則k的值應滿足的條件是

(2)為使P、Q能發生第二次碰撞，要求，對于第二次碰撞，令和分別表示碰后P和Q的速度，同樣由動量守恒及機械能守恒定律有

由此解得

，

若

則一定不會發生第三次碰撞，若

且

則會發生第三次碰撞，故為使第三次碰撞不會發生，要求P第三次從坡上滑下后速度的大小不大于Q速度的大小，即

聯立解得

由

可求得

解得

求交集即為所求