Question

（2008?湖北模擬）如圖所示，滑塊A的質(zhì)量m=0.01kg，與水平地面間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，用細(xì)線懸掛的小球質(zhì)量均為m=0.01kg，沿x軸排列，A與第1只小球及相鄰兩小球間距離均為s=2m，線長分別為L₁、L₂、L₃…（圖中只畫三只小球，且小球可視為質(zhì)點(diǎn)），開始時(shí)，滑塊以速度v₀=10m/s沿x軸正方向運(yùn)動，設(shè)滑塊與小球碰撞時(shí)不損失機(jī)械能，碰撞后小球均恰能在豎直平面內(nèi)完成完整的圓周運(yùn)動并再次與滑塊正碰，g取10m/s²，求
（1）滑塊能與幾個(gè)小球碰撞？
（2）求出碰撞中第n個(gè)小球懸線長L_n的表達(dá)式．
（3）滑塊與第一小球碰撞后瞬間，懸線對小球的拉力為多大．

Answer 1

分析：（1）通過動能定理求出滑塊能夠向前滑動的距離，結(jié)合兩球間的距離確定碰撞球的個(gè)數(shù)．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出最高點(diǎn)的臨界速度，通過機(jī)械能守恒定律求出最低點(diǎn)的速度，結(jié)合動能定理求出碰撞中第k個(gè)小球懸線長L_k的表達(dá)式．
（3）因?yàn)樾∏蚯∧茏鰣A周運(yùn)動，求出最高點(diǎn)的臨界速度，通過機(jī)械能守恒定律求出最低點(diǎn)的速度，根據(jù)牛頓第二定律求出懸線對小球的拉力大小．

解答：解（1）因滑塊與小球質(zhì)量相等且碰撞中機(jī)械能守恒，滑塊與小球相碰撞會互換速度，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，機(jī)械能守恒，
設(shè)滑塊滑行總距離為s₀，有
-μmgs₀=0-

1

2

m

v

2 0

   得s₀=25m
n=

s0

s

=12（個(gè)）  
（2）滑塊與第n個(gè)小球碰撞，設(shè)小球運(yùn)動到最高點(diǎn)時(shí)速度為

v′

n

對小球，有：mg=m

v′ 2 n

Ln

   ①
機(jī)械能守恒：

1

2

m

v

2 n

=

1

2

m

v′

2 n

+2mgL_n ②
對滑塊，有：-μmgns=

1

2

m

v

2 n

-

1

2

m

v

2 0

  ③
解①②③三式得：L_n=

v 2 0 -2μgsn

5g

=2-

4n

25

 （m） 
（3）滑塊做勻減速運(yùn)動到第一個(gè)小球處與第一個(gè)小球碰前的速度為v₁，則有
-μmgs=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 0

 
由于滑塊與小球碰撞時(shí)不損失機(jī)械能，則碰撞前后動量守恒、動能相等，滑塊與小球相碰撞會互換速度，碰撞后瞬間小球的速度仍為v₁．
此時(shí)小球受重力和繩子的拉力作用，由牛頓定律得：
T-mg=m

v 2 1

L1

因?yàn)長₁=

50-4×1

25

=

46

25

由上述三式解得：T=0.6N   
答：（1）滑塊能與12個(gè)小球碰撞．
（2）碰撞中第n個(gè)小球懸線長Ln的表達(dá)式是L_n=2-

4n

25

 （m） 
（3）滑塊與第一小球碰撞后瞬間，懸線對小球的拉力為0.6N

點(diǎn)評：本題綜合考查了牛頓第二定律、動能定理、機(jī)械能守恒定律等規(guī)律，綜合性較強(qiáng)，對學(xué)生的能力要求較高，需加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．