Question

3．如圖1所示，與紙面垂直的豎直面MN的左側空間中存在豎直向上場強大小為E=2.5×10²N/C的勻強電場（上、下及左側無界）．一個質量為m=0.5kg、電量為q=2.0×10^-2C的可視為質點的帶正電小球，在t=0時刻以大小為v₀的水平初速度向右通過電場中的一點P，當t=t₁時刻在電場所在空間中加上一如圖2所示隨時間周期性變化的磁場，使得小球能豎直向下通過D點，D為電場中小球初速度方向上的一點，PD間距為L，D到豎直面MN的距離DQ為L/π．設磁感應強度垂直紙面向里為正．（g=10m/s²）
（1）如果磁感應強度B₀為已知量，使得小球能豎直向下通過D點，求磁場每一次作用時間t₀的最小值（用題中所給物理量的符號表示）；
（2）如果磁感應強度B₀為已知量，試推出滿足條件的時刻t₁的表達式（用題中所給物理量的符號表示）；
（3）若小球能始終在電磁場所在空間做周期性運動，則當小球運動的周期最大時，求出磁感應強度B₀及運動的最大周期T的大小（用題中所給物理量的符號表示）．

Answer 1

分析 （1）計算可知電場力和重力平衡，B=B₀做勻速圓周運動，B=0做勻速直線運動，左手定則判斷圓周運動的轉動方向，可知t₀取最小值的條件為：小球經一次磁場作用恰好速度方向轉過270°；
（2）洛倫茲力提供向心力結合幾何關系即可；
（3）每次磁場作用使小球的速度方向偏轉270°，四次即可使速度變回原來的方向，周期最大的時，恰好軌跡與MN相切．

解答 解：（1）設圓周運動的周期為T₀，小球做圓周運動的半徑為R
        根據題給數據計算可知，當小球進入電場時：mg=Eq，所以0～t₁小球將做勻速直線運動 
        在t₁時刻加入磁場，小球在時間t₀內將做勻速圓周運動，
        洛倫茲力提供向心力：qv₀B₀=m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$…①
        周期：T₀=$\frac{2πR}{{v}_{0}}$…②
        由圖1根據幾何關系可知，若豎直向下通過D點，需滿足：t₀=$\frac{3}{4}$T₀ …③
        聯立①②③式子得：t₀=$\frac{3πm}{{2qB}_{0}}$
（2）如圖2根據幾何關系可得：PF-PD=R 即：v₀t₁-L=R…④
        ①④式聯立得：t₁=$\frac{L}{{v}_{0}}$+$\frac{m}{q{B}_{0}}$
（3）小球運動的速率始終不變，當R變大時，T₀也增加，小球在電場中的運動的周期T增加，在小球不飛出電場的情況下，
        當T最大時有：DQ=2R 即：$\frac{L}{π}$=$\frac{2m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$
整理得B₀=$\frac{2πm{v}_{0}}{qL}$…⑤
        ⑤式代入②式，可得：T₀=$\frac{2πR}{{v}_{0}}$=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$=$\frac{L}{{v}_{0}}$
        由圖2分析可知小球在電磁場中運動的最大周期：T=8×$\frac{3}{4}$T₀=6$\frac{L}{{v}_{0}}$
答：（1）磁場每一次作用時間t₀的最小值為$\frac{3πm}{{2qB}_{0}}$；
      （2）如果磁感應強度B₀為已知量，試推出滿足條件的時刻t₁的表達式為$\frac{L}{{v}_{0}}$+$\frac{m}{q{B}_{0}}$；
      （3）當小球運動的周期最大時，磁感應強度B₀為$\frac{2πm{v}_{0}}{qL}$，運動的最大周期T為6$\frac{L}{{v}_{0}}$．

點評 本題考查帶電粒子在電場、磁場、重力場中的運動，電場力和重力作用抵消，相當于只受磁場力作用；第一問的難點在于判斷小球能豎直向下通過D點的條件：小球經一次磁場作用恰好速度方向轉過270°．第三問難點在于判斷周期最大的條件：軌跡與磁場右邊界相切．