Question

16．如圖所示，傾角為37⁰的光滑導軌，頂端離地H=1.45m，下端通過一小段光滑圓弧與內壁光滑的薄壁細管做成的圓環軌道相接于最低端B．整個裝置由豎直平面內的若干個相同圓環組成，第一個圓環記作0號，第二個圓環記作1號，其余依此類推．已知圓環半徑為0.5m，間距為x₀=1m，軌道水平段的動摩擦因數?=0.2．一質量m=0.5kg的小球在傾斜導軌頂端A點以v₀=2m/s速度水平發射，在落到傾斜導軌上P點后即沿軌道運動（P點在圖中未畫出）．（g=10m/s²）求：
（1）小球落到傾斜導軌上P點到A點的距離．
（2）小球落到軌道上后只保留沿斜面方向的速度v=3.4m/s平行軌道繼續滑行，小球能通過第幾號圓環軌道；
（3）小球最終停在什么位置？

Answer 1

分析 （1）小球水平方向做勻速運動，豎直方向做自由落體運動，聯立兩個公式，即可求出落到斜面上的落點離斜面頂端的距離；
（2）小球在通過豎直放置的圓軌道時，只要通過最高點的速度大于0即可，然后結合動能定理即可求出；
（3）當小球不能通過第n個環時，將沿軌道返回最低點，然后向第n-1和圓環運動，由于需要克服摩擦力做功，所以環更不能通過n-1圓環的最高點，之后再次返回并向第n個圓環運動，依此類推可知，小球最后將停在第n-1個圓環與低n個圓環之間，由動能定理即可求出小球通過的總路程，然后結合幾何關系求出小球最終停止的位置．

解答 解：（1）小球飛出后做平拋運動，豎直方向做自由落體運動：$y=\frac{1}{2}g{t}^{2}$   ①
水平方向：x=v₀t             ②
它們之間的關系：tan37°=$\frac{y}{x}$   ③
聯立①②③式，得飛行時間  t=0.3 s   
落點的x坐標：x₁=v₀t=2×0.3=0.6 m
落點離斜面頂端的距離：${s}_{1}=\frac{{x}_{1}}{cosθ}=\frac{0.6}{0.8}=0.75$m
（2）小球在做平拋運動時豎直方向的位移：$y=\frac{1}{2}g{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×10×0．{3}^{2}=0.45$m
由機械能守恒可知，小球通過B點的速度：$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}+mg（H-y）$
代入數據得：v_B=5.62m/s
小球在圓環的軌道內運動，所以只要通過最高點的速度大于0即可．設小球恰好能通過第n個小球，由于小球只有在水平面上運動的過程中才受到摩擦力，所以小球在水平面上通過的路程為s，則s=nx₀
由動能定理得：$-μmg•s-mg•2R=0-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入數據整理得：n=2.89＜3
所以小球能通過第2個圓環，不能通過第三個圓環
（3）小球從B點開始在水平面上受到摩擦力的作用，摩擦力做功，機械能轉化為內能，設小球通過的最大路程為s_m，由功能關系得：
$-μmg{s}_{m}=0-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入數據得：s_m=7.89m
由題干圖可知，小球通過第2個圓環后，在水平方向以及發生的位移是2.0m，所以小球在第2個圓環與第3個圓環之間的路程為：
s₀=s_m-2=7.89-2=5.89m
由于x₀=1m，所以小球只能在第2個圓環與第3個圓環之間往返2次，最終小球停止的位置到第2個圓環的最低點之間的距離：
L=3×2x₀-s₀=3×2×1-5.89=0.11m
答：（1）小球落到傾斜導軌上P點到A點的距離是0.75m．
（2）小球落到軌道上后只保留沿斜面方向的速度v=3.4m/s平行軌道繼續滑行，小球能通過第2號圓環軌道；
（3）小球最終停在到第2個圓環的最低點之間的距離0.11m的位置．

點評 該題涉及平拋運動、豎直平面內的圓周運動以及動能定理等知識點的內容，解答的關鍵是小球在圓環的軌道內運動，所以只要通過最高點的速度大于0即可，若小球不能到達最高點，則能夠沿圓環的軌道返回，而不會離開軌道．