Question

如圖所示是一種磁動力電梯的模擬機，即在豎直平面上有兩根很長的平行豎直軌道，軌道間有垂直軌道平面的勻強磁場B₁和B₂，且B₁和B₂的方向相反，大小相等，即B₁=B₂=1T，兩磁場始終豎直向上作勻速運動．電梯橋廂固定在如圖所示的一個用超導材料制成的金屬框abcd內（電梯橋廂在圖中未畫出），并且與之絕緣．電梯載人時的總質量為750kg，所受阻力f=500N，金屬框垂直軌道的邊長L_cd=2m，兩磁場的寬度均與金屬框的邊長L_ac相同，金屬框整個回路的電阻R=6×10^-3Ω，假如設計要求電梯以v₁=10m/s的速度向上勻速運動，那么，
（1）磁場向上運動速度v₀應該為多大？
（2）在電梯向上作勻速運動時，為維持它的運動，外界必須提供能量，那么這些能量是由誰提供的？此時系統的效率為多少？

Answer 1

（1）當電梯向上用勻速運動時，金屬框中感應電流大小為
    I=

2B1Lcd(v0-v1)

R

     ①
金屬框所受安培力F=2B₁IL_cd  ②
由平衡條件知：安培力大小與重力和阻力之和相等，即有
   F=mg+f         ③
由①②③式求得：v₀=13m/s．
（2）運動時電梯向上運動的能量由磁場提供的．
磁場提供的能量分為兩部分，一部分轉變為金屬框的內能，另一部分克服電梯的重力和阻力做功．當電梯向上作勻速運動時，金屬框中感應電流由①得：
  I=2×10³A
金屬框中的焦耳熱功率為：P₁=I²R=2.4×10⁴W  ④
而電梯的有用功率為：P₂=mgv₁=7.5×10⁴W    ⑤
阻力的功率為：P₃=f v₁=5×10³W            ⑥
從而系統的機械效率 η=

P2

P1+P2+P3

×100%  ⑦
代入解得 η=72.1%               ⑧
答：
（1）磁場向上運動速度v₀應該為是13m/s．
（2）在電梯向上作勻速運動時，為維持它的運動，外界必須提供能量，那么這些能量是由磁場提供的，此時系統的效率為72.1%．