Question

【題目】在海上有一種浮桶式波浪發電燈塔，其原理如圖甲所示。浮桶內的磁體通過支柱固定在暗礁上。密閉浮桶的內置線圈與浮筒保持相對靜止，隨著波浪上下起伏，線圈相對于磁體沿豎直方向運動，且始終處于磁場中。浮桶下部始終浸沒在海水中，且上部始終沒有進入海水中，其外側圓周的橫截面積（如圖乙中陰影部分所示）為S。

（1）己知浸在海水中的浮桶受到豎直向上的浮力，浮力大小的表達式為F浮=ρgV排，其中海水的密度為ρ，g為重力加速度，V排為浮桶排開海水的體積。

a．忽略海水對浮桶的阻力，試證明浮桶在重力和浮力作用下的自由振動是簡諧運動，并寫明回復力系數k的表達式；

b．若某次自由振動中的振幅為0.6m，周期為6s，且t=0時，浮桶位于振動的最低點，以向上為正方向，試寫出這次振動過程的位移表達式。

（2）已知海浪的周期始終為T=3.0s，海水的密度為ρ=103kg/m3。浮桶外側圓周的橫截面積（如圖乙中陰影部分所示）為S=0.20m2。內置線圈的匝數N=200，固定磁體在線圈所處位置產生的輻向磁場的磁感應強度大小為B=0．20T，線圈直徑D=0.40m，總電阻r=1.0Ω，該線圈與阻值R=15Ω的燈泡相連。取重力加速度g=10m/s2，且π2=10。

a．已知浮筒作簡諧運動的固有周期公式為，其中m為振子質量，k為回復力系數。浮桶隨波浪上下運動可視為受迫振動，當浮桶及線圈的總質量m為多大時，該浮桶式波浪發電機的發電功率達到最高？

b．若浮桶隨波浪上下運動可視為受迫振動，振動的位移可表示為。試求此時燈泡的實際電功率P。

Answer 1

【答案】（1）a．見解析 b．（2）a．450kg；b．480W

【解析】(1)a.根據題意，設浮桶及線圈的總質量為M，在水面平衡時，排開水的體積為V0，

Mg=ρgV0

設浮桶及線圈相對平衡位置的位移是x，

可得：F回=-F浮+Mg=-ρg（V0+Sx）+ρgV0=-ρgSx

考慮到簡諧運動的特征：F回=-kx

可得回復力系數k=ρgS

b.簡諧運動的位移表達式為

因

，

浮桶位于振動的最低點，以向上為正方向開始振動，則

故振動表達式為

(2)a.簡諧運動的周期：

結合回復力系數k=ρgS，可得浮桶與線圈作簡諧運動的固有周期

因驅動力周期時，波浪機械能轉化為電能的效率最高時，

解得m=450kg

b. 由振動的位移表達式，可得

發電的最大電動勢為

根據閉合電路歐姆定律，流過燈泡的電流為

電功率為：