Question

20．如圖，水平面內兩根相互平行的足夠長光滑金屬導軌MM′和NN′相距l，導軌左端M、N間跨接一阻值為R的電阻，一根金屬棒ab垂直架在兩導軌上．金屬棒和導軌的電阻以及回路電感均不計．整個裝置置于勻強磁場中，磁感應強度B，方向垂直于導軌豎直向下，其大小隨時間變化規律為B=B₀-kt（k＞0）．從t=0起，ab棒在水平力F的作用下，從距MN為x₀的位置處以恒定速度v向右運動，在0＜B＜B₀/t的時間內，求：
（1）回路中感應電流的大小；
（2）維持棒ab勻速向右運動，F應滿足怎樣的條件？
（3）磁場隨時間有什么變化規律可使回路始終沒有電流？

Answer 1

分析 （1）由E=BLv求出動生電動勢，由法拉第電磁感應定律求出感生電動勢，然后由歐姆定律求出電流；
（2）由安培力公式求出金屬棒受到的安培力，然后由平衡條件求出拉力F．
（3）電流沒有電流，穿過回路的磁通量保持不變，據此分析答題．

解答 解：（1）導體棒切割磁感線產生的感應電動勢：E₁=Blv=（B₀-kt）lv，
由法拉第電磁感應定律可知，感生電動勢：E₂=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{△B}{△t}$△S=klvt，
由右手定則與楞次定律可知，兩電動勢方向相反，
感應電流：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{{E}_{1}-{E}_{2}}{R}$=$\frac{（{B}_{0}-2kt）lv}{R}$；
（2）金屬棒受到的安培力：F_安培=BIl=$\frac{（{B}_{0}-kt）（{B}_{0}-2kt）{l}^{2}v}{R}$，
金屬棒勻速運動，處于平衡狀態，由平衡條件得：F=$\frac{（{B}_{0}-kt）（{B}_{0}-2kt）{l}^{2}v}{R}$；
（3）回路中沒有感應電流，穿過閉合回路的磁通量保持不變，
即：B₀lx₀=Bl（x₀+vt），則：B=$\frac{{B}_{0}}{1+\frac{vt}{{x}_{0}}}$；
答：（1）回路中感應電流的大小為$\frac{（{B}_{0}-2kt）lv}{R}$；
（2）維持棒ab勻速向右運動，F應滿足的條件是：F=$\frac{（{B}_{0}-kt）（{B}_{0}-2kt）{l}^{2}v}{R}$；
（3）磁場隨時間有什么變化規律為：B=$\frac{{B}_{0}}{1+\frac{vt}{{x}_{0}}}$時回路始終沒有電流．

點評 本題是電磁感應與電路、力學相結合的綜合題，有一定的難度，認真審題理解題意、分析清楚金屬棒的運動過程是解題的關鍵，應用E=BLv、法拉第電磁感應定律、歐姆定律與安培力公式、知道感應電流產生的條件可以解題．