Question

19．如圖所示內壁光滑的環形槽半徑為R，固定在豎直平面內，質量均為m的小球A、B，以等大的速率v₀從圓心等高處同時向上、向下滑入環形槽，若在運動過程中兩球均未脫離環形槽，設當地重力加速度為g，則下列敘述中正確的是（　　）

• A． 兩球再次相遇時，速率仍然相等，且小于v₀
• B． v₀的最小值為$\sqrt{2gR}$
• C． 小球A通過最高點的機械能小于小球B通過最低點時的機械能
• D． 小球A通過最高點和小球B通過最低點時對環形槽的壓力差值為5mg

Answer 1

分析 兩個小球在光滑的圓軌道內運動，機械能守恒，據機械能守恒定律分析它們再次相遇時速率關系．A球要到最高點，在最高點的速度v必須滿足m$\frac{{v}^{2}}{R}$≥mg．根據機械能守恒和牛頓第二定律求解軌道對兩球的支持力之差，得到壓力之差．

解答 解：A、兩個小球在光滑的圓軌道內運動，只有重力做功，機械能守恒，開始出發時機械能相等，則再次相遇時機械能守恒也相等，速率必定相等，A向上先做減速運動，越過最高點后再做加速運動，B向下先做加速運動，越過最點點后再做減速運動，兩球再次相遇時應在水平面的上方，高度大于出發點的高度，由重力勢能變大，由機械能守恒定律可知，兩球的動能減小，速度小于初速度v₀，故A正確．
B、設A球剛好到最高點時的速率為v，則mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，從出發到最高點的過程，有mgR+$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$mv₀²，聯立解得：v₀=$\sqrt{\frac{3}{2}gR}$，即小球v₀的最小值為$\sqrt{\frac{3}{2}gR}$，故B錯誤．
C、根據機械能守恒定律知，小球A通過最高點時的機械能等于小球B通過最低點時的機械能，故C錯誤．
D、小球A通過最高點時，有mg+N_A=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$，小球B通過最低點時，有N_B-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，
又由機械能守恒得：對A球，有 mgR+$\frac{1}{2}$mv_A²=$\frac{1}{2}$mv₀²，對B球，有 mgR+$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv_B²，
聯立解得，N_B-N_A=6mg，則小球A通過最高點和小球B通過最低點時對環形槽的壓力差值為6mg，故D錯誤．
故選：A．

點評 本題的關鍵要掌握機械能守恒和向心力知識，要準確把握小球到達最高點的臨界條件，熟練運用機械能守恒定律和牛頓運動定律處理這類問題．