Question

如圖所示的“S”形玩具軌道，該軌道是用內壁光滑的薄壁細圓管彎成，放置在豎直平面內，軌道彎曲部 分是由兩個半徑相等的半圓對接而成，圓半徑比細管內徑大得多，軌道底端與水平地面相切，軌道在水平面上不可移動。彈射裝置將一個小球（可視為質點）從a點水平彈射向b點并進入軌道，經過軌道后從最高點d水平拋出。已知小球與地面ab段間的動摩擦因數μ=0.2，不計其他機械能損失，ab段長L=1.25 m，圓的半徑R=0.1 m，小球質量m=0.01 kg，軌道質量M=0.26 kg，g=10 m/s²，求：
（1）要使小球從d點拋出后不碰軌道，小球的初速度v₀需滿足什么條件？
（2）設小球進入軌道之前，軌道對地面的壓力大小等于軌道自身的重力，當v₁至少為多少時，小球經過兩半圓的對接處c點時，軌道對地面的壓力為零。
（3）若v₀'=3 m/s，小球最終停在何處？

Answer 1

解：（1）設小球到達d點處速度為v_d，由動能定理，得 ①

若小球由d點做平拋運動剛好經過圖中的O點，則有 ②
R=v_dt ③
聯立①②③并代入數值得 ④
小球的初速度v₀需滿足 ⑤
（2）設小球到達c點處速度為v_c，由動能定理，得 ⑥
當小球通過c點時，由牛頓第二定律得 ⑦
要使軌道對地面的壓力為零，則有N'=Mg ⑧
聯立⑥⑦⑧并代入數值，解得小球的最小速度v₁=6 m/s ⑨
（3）小球能通過d點，需滿足v_d≥0，由動能定理 ⑩
得
因，小球過不了d點而沿軌道原路返回
對整個過程由動能定理，有
得x=2.25 m
小球最終停在a右側0.25 m處