Question

6．火星表面特征非常接近地球，適合人類居住．我國宇航員王躍曾與俄羅斯宇航員一起進行“模擬登火星”實驗活動．已知火星半徑是地球半徑的$\frac{1}{2}$，質量是地球質量的$\frac{1}{9}$，自轉周期也基本相同．地球表面重力加速度是g，若王躍在地面上能向上跳起的最大高度是h，在忽略自轉影響的條件下，下述分析正確的是（　　）

• A． 王躍在火星表面受的萬有引力是在地球表面受萬有引力的$\frac{2}{9}$倍
• B． 火星表面的重力加速度是$\frac{9g}{4}$
• C． 火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的$\frac{\sqrt{2}}{3}$倍
• D． 王躍以相同的初速度在火星上起跳時，可跳的最大高度是$\frac{9h}{2}$

Answer 1

分析 求一個物理量之比，我們應該把這個物理量先表示出來，再進行之比．根據萬有引力定律的內容（萬有引力是與質量乘積成正比，與距離的平方成反比．）解決問題．運用萬有引力等于重力求出問題．

解答 解：A、根據萬有引力定律的表達式$F=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，已知火星半徑是地球半徑的$\frac{1}{2}$，質量是地球質量的$\frac{1}{9}$，
王躍在火星表面受的萬有引力${F}_{火}^{\;}=G\frac{{M}_{火}^{\;}m}{{R}_{火}^{2}}$
在地球表面受的萬有引力${F}_{地}^{\;}=G\frac{{M}_{地}^{\;}m}{{R}_{地}^{2}}$
$\frac{{F}_{火}^{\;}}{{F}_{地}^{\;}}=\frac{{M}_{火}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}}\frac{{R}_{地}^{2}}{{R}_{火}^{2}}=\frac{1}{9}×\frac{4}{1}=\frac{4}{9}$，所以王躍在火星表面受的萬有引力是在地球表面受的萬有引力的$\frac{4}{9}$倍，故A錯誤；
B、由$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$得到$g=G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}$
火星表面的重力加速度${g}_{火}^{\;}=G\frac{{M}_{火}^{\;}}{{R}_{火}^{2}}$
地球表面的重力加速度${g}_{地}^{\;}=G\frac{{M}_{地}^{\;}}{{R}_{地}^{2}}$
$\frac{{g}_{火}^{\;}}{{g}_{地}^{\;}}=\frac{{M}_{火}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}}\frac{{R}_{地}^{2}}{{R}_{火}^{2}}=\frac{1}{9}×\frac{4}{1}=\frac{4}{9}$
解得${g}_{火}^{\;}=\frac{4}{9}g$，故B錯誤；
C、由$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$
火星的第一宇宙速度${v}_{火}^{\;}=\sqrt{\frac{G{M}_{火}^{\;}}{{R}_{火}^{\;}}}$
地球的第一宇宙速度${v}_{地}^{\;}=\sqrt{\frac{G{M}_{地}^{\;}}{{R}_{地}^{\;}}}$
$\frac{{v}_{火}^{\;}}{{v}_{地}^{\;}}=\sqrt{\frac{{M}_{火}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}}\frac{{R}_{地}^{\;}}{{R}_{火}^{\;}}}=\sqrt{\frac{1}{9}×\frac{2}{1}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$，故C正確；
D、根據豎直上拋運動的規律可得，最大高度$h=\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$
${h}_{火}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2{g}_{火}^{\;}}$
${h}_{地}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2{g}_{地}^{\;}}$
$\frac{{h}_{火}^{\;}}{{h}_{地}^{\;}}=\frac{{g}_{地}^{\;}}{{g}_{火}^{\;}}=\frac{{g}_{地}^{\;}}{\frac{4{g}_{地}^{\;}}{9}}=\frac{9}{4}$
火星上起跳的最大高度${h}_{火}^{\;}=\frac{9}{4}h$，故D錯誤；
故選：C

點評 通過物理規律把進行比較的物理量表示出來，再通過已知的物理量關系求出問題是選擇題中常見的方法．把星球表面的物體運動和天體運動結合起來是考試中常見的問題．