Question

7．如圖所示，皮帶傳動裝置與水平面夾角為30°，兩輪軸心相距L=2.85m，A．B分別是傳送帶的上表面與兩輪的切點．已知兩輪的邊緣與傳送帶之間不打滑，質量為0.1kg的小物塊與傳送帶間的動摩擦因數為μ=$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．當傳送帶沿逆時針方向以v₁=3m/s的速度勻速運動時，將小物塊無初速度地放在A點，它會運動至B點．求：（g取10m/s²）
（1）小物塊剛放在A點時的加速度；
（2）小物塊從A運動到B需要的時間；
（3）整個過程中因摩擦產生的熱量．

Answer 1

分析 （1）對小物塊進行受力分析，小物塊受重力、支持力和傳送帶沿帶向下的摩擦力作用，根據牛頓第二定律求出合力由牛頓第二定律求出加速度即可；
（2）小物塊向下加速運動當速度達到傳送帶速度時判定小物塊是否到達底端，如若沒有則小物塊摩擦力會改變方向，再根據牛頓第二定律求解小物塊的運動情況，從而分段求出小物塊的運動時間即可．
（3）根據Q=f△x求解摩擦產生的熱量，其中△x為小物塊相對于傳送帶位移；

解答 解：（1）當小物塊速度小于3m/s時，小物塊受到豎直向下的重力、垂直傳送帶向上的支持力和沿傳送帶斜向下的摩擦力作用，做勻加速直線運動，
設加速度為a₁，根據牛頓第二定律可得，mgsin30°+μmgcos30°=ma₁，
解得：a₁=gsin30°+μmgcos30°=7.5m/s²．
（2）當小物塊速度v₁=3m/s時，設小物塊相對于地的位移為L₁，用時為t₁，
根據勻加速直線運動規律可得，t₁=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}$=$\frac{3}{7.5}$s=0.4s，
L₁=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2{a}_{1}}$=$\frac{{3}^{2}}{2×7.5}$m=0.6m，
由于L₁＜L，且μ=$\frac{\sqrt{3}}{6}$＜tan30°，當小物塊速度大于3m/s時，小物塊將繼續做勻加速直線運動至B點，
設加速度為a₂，用時為t₂，根據牛頓第二定律得，mgsin30°-μmgcos30°=ma₂ ，
解得：a₂=gsin30°-μmgcos30°=2.5m/s²，
物體到達底端時，滿足：L-L₁=v₁t₂+$\frac{1}{2}$a₂t₂² ，
解得：t₂=0.6s，
故小物塊由靜止出發從A到B所用時間為 t=t₁+t₂=1s．
（3）由（2）可知，物體分二段運動：
第一段物體加速時間t₁=0.4s；L₁=0.6m，
傳送帶位移x₁=v₁t₁=1.2m，
x_相1=x₁-L₁=0.6m，
當物體與傳送帶速度相等后，物體運動時間t₂=0.6s；
L₂=L-L₁=2.85-0.6=2.25m，
傳送帶位移：x₂=v₁t₂=1.8m，
x_相2=L₂-x₂=0.45m，
所以整個過程中因摩擦產生的熱量：
Q=μmgcos30°（x_相1+x_相2）=0.2625J．
答：（1）小物塊剛放在A點時的加速度為7.5m/s²；
（2）小物塊從A運動到B需要的時間為1s；
（3）整個過程中因摩擦產生的熱量為0.2625J．

點評 本題考查了牛頓第二定律的應用，注意分析小物體的運動過程，根據受力確定物塊的運動過程是解題的關鍵，應用牛頓第二定律與運動學公式可以解題，尤其第（3）相對位移的求解有一定的難度．