Question

已知甲、乙兩行星的半徑之比為a，它們各自對應的第一宇宙速度之比為b，則下列結論正確的是（　　）

• A、甲、乙兩行星的質量之比為b²a：1
• B、甲、乙兩行星表面的重力加速度之比為b²：a
• C、甲、乙兩行星各自的衛星的最小周期之比為a：b
• D、甲、乙兩行星各自的衛星的最大角速度之比為a：b

Answer 1

分析：根據重力提供向心力求出行星的第一宇宙速度，結合半徑和第一速度之比求出甲乙行星表面的重力加速度之比．根據萬有引力等于重力求出甲乙兩行星的質量之比．根據萬有引力提供向心力得出衛星的最小周期之比和最大角速度之比．

解答：解：A、根據mg=

mv2

R

，則第一宇宙速度為：v=

gR

，
則行星表面的重力加速度為：g=

v2

R

，甲、乙兩行星的半徑之比為a，它們各自的第一宇宙速度之比為b，
則甲乙兩行星的表面重力加速度之比為

b2

a

，
根據mg=

GM m

R2

，則有：M=

gR2

G

，
因為半徑之比為a，重力加速度之比為

b2

a

，所以甲乙兩行星的質量之比為b²a：1．故A、B正確．
C、軌道半徑越小，周期越小，根據

GMm

r2

=m

4π2r

T2

得，
最小周期T=2π

R3 GM

，甲乙兩行星的質量之比為ab²：1，半徑之比為a，則最小周期之比為a：b．故C正確．
D、軌道半徑越小，角速度最大，根據ω=

2π

T

，最小周期之比為a：b，則最大角速度之比為b：a．故D錯誤．
故選：ABC．

點評：解決本題的關鍵掌握萬有引力的兩個理論：1、萬有引力提供向心力，2、萬有引力等于重力，并能靈活運用．