Question

如圖所示，兩條間距為L的光滑平行導電導軌MN、PQ與水平面成θ角放置，上端跨接定值電阻R，一長也為L、電阻不計的金屬棒擱在導軌上，在導軌所在處有三個勻強磁場區和一個無磁場區，磁場邊界均平行于金屬棒，磁場寬均為L，磁場方向如圖且均垂直于導軌平面，磁感應強度B₂=2B₁，無磁場區寬也為L，金屬棒從導軌上方距最上方的磁場的上邊界L處靜止起下滑，進入最上方磁場時恰好做勻速運動，且每次到達一個磁場的下邊界前都已達到勻速運動，圖中已畫出金屬棒穿過第一個磁場區過程中的電流（以a→b為正方向）隨下滑距離x變化的圖象，請畫出金屬棒穿過后兩個磁場區過程中的電流隨下滑距離x變化的圖象．

Answer 1

分析：在0到L段勻速運動，金屬棒受力平衡，可以得到電流表達式．
L到2L段，由于磁場強度增大一倍，金屬棒受的安培力大于重力向下的分力，故金屬棒做勻減速直線運動．由公式可知其大小為0到L段的兩倍．
由電磁感應可以求的L到2L的平均感應電動勢，由電功表達式可以求得這段位移的電功，再由能量守恒可以求得這段位移的電流與位移成反比．
又在L到2L的下邊界又變成勻速運動，可知在下邊界的電流與0到L段的電流相等．所以可以做出L到2L的I-L圖象．
2L到3L這段沒有磁場，故沒有電流
3L到4這段同理可以得到圖象．

解答：解：
（1）在0到L段勻速運動，金屬棒受力平衡：B₁I₁L=G₁
可以得到電流表達式：I1=

G1

B1L

=2A
L到2L段，感應電流為：I2=

B2Lv

R

安培力為：F2=

B22L2v

R

=4G1
又由：B₂I₂v=4G₁
得：I2=

4G1

B2L

=2I1=4A
由右手定則知電流方向與I₁方向相反，
在這段位移X₂內產生的平均動生電動勢為：
U2=

B2△S

t

=

B2X2L

t

產生的電熱為：
Q=U₂I₂t
=B₂△XI₂L
又由能量守恒知，這段位移內能量轉化為：重力勢能轉化為電熱．
mgh=B₂△XI₂L
整理得到：
I2=

mgh

B2△XL

可知這段位移內電流與位移成反比，初始電流為4A，方向與I₁方向相反．
又題目告知：到達下邊界金屬棒達到勻速，說明在下邊界安培力等于G₁，則在下邊界的電流為2A．
故這段時間內的圖象如圖．

（2）2L到3L這段無磁場，故電流為零．

（3）與0到L段同理，可知3L到4L這段位移內的電流和位移的關系也是反比，末電流也是2A，方向與I₁方向相同．
其初始速度應為它經2L到3L這段無磁場區加速后的速度：
v=v₀+gsinθ?t
由于平均速度比v₀大，而初始區域的平均速度為：

v0

2

，故其時間應該小于在初始區域的運動時間的一半，兩者加速度相等，都是gsinθ，故其速度的增加應小初速度的

1

2

．即其初速度應小于2.5v₀．
又由I=

BLv

R

，可知感應電流與速度成正比，所以在這段位移的初始電流應小于2.5A．故圖象的起始點應在電流為2.5A稍下方．
則這段圖象如圖．

綜上可以得到最終的I--X圖象如圖：

點評：本題難度較大，綜合性較強，在熟練掌握相關知識后可以用這種題來提高綜合應用能力，鍛煉思維．