Question

16．如圖所示，在豎直平面內固定有兩個很靠近的同心圓形軌道，外圓ABCD的光滑，內圓A′B′C′D′的上半部分B′C′D′粗糙，下半部分B′A′D′光滑，一質量m=2kg的小球從軌道的最低點A，以初速度v₀向右運動，球的尺寸略小于兩圓間距，球運動的半徑R=0.2m，取g=10m/s²．
（1）若要使小球始終緊貼外圓做完整的圓周運動，初速度v₀至少為多少？
（2）若v₀=4m/s，經過一段時間小球到達最高點，內軌道對小球的支持力N=10N，則小球在這段時間內克服摩擦力做的功是多少？
（3）若v₀=4m/s，經過足夠長的時間后，小球在整個運動過程中減少的機械能是多少？

Answer 1

分析 （1）緊貼外圓做圓周運動，在最高點的臨界情況是重力提供向心力，根據牛頓第二定律求最高點的速度，由于小球不受摩擦力，由機械能守恒定律求出初速度的最小值．
（2）根據牛頓第二定律求出最高點的速度大小，根據動能定理求出克服摩擦力做功的大小．
（3）經足夠長時間后，小球在下半圓軌道內做往復運動，根據能量守恒求出損失的機械能．

解答 解：（1）設小球到達最高點的最小速度為v_C，則有：
mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
由機械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv_c²+2mgR
代入數據解得：v₀=$\sqrt{5gR}$=$\sqrt{10}$m/s=3.16m/s．
（2）設此時小球到達最高點的速度為v_c′，克服摩擦力做的功為W，則在最高點C，有：
mg-N=m$\frac{{v}_{C}^{′2}}{R}$
由動能定理得：-2mgR+W=$\frac{1}{2}$mv_c′²-$\frac{1}{2}$mv₀²；
代入數據解得：W=-7J．即克服摩擦力做的功是7J．
（3）經足夠長時間后，小球在下半圓軌道BD內做往復運動，小球經過B或D點的速度為v_B=0．
則小球在整個運動過程中減少的機械能為：
△E=$\frac{1}{2}$mv₀²-mgR=16-4=12J
答：（1）要使小球始終緊貼外圓做完整的圓周運動，初速度v₀至少為3.16m/s．
（2）小球在這段時間內克服摩擦力做的功是7J．
（3）小球在整個運動過程中減少的機械能是12J．

點評 本題綜合考查了動能定理、牛頓第二定律和機械能守恒定律，綜合性較強，關鍵是理清運動過程，抓住臨界狀態，運用合適的規律進行求解．