Question

9．已知物體在地球上的逃逸速度（第二宇宙速度）v=$\sqrt{\frac{2G{M}_{E}}{{R}_{E}}}$其中G、M_E、R_E分別是萬有引力常量、地球的質量和地球的半徑．設真空中光速為c．
（1）逃逸速度大于真空中光速的天體叫黑洞．設某黑洞的質量等于太陽的質量M_S，求它的可能最大半徑？
（2）在目前天文觀測范圍內，宇宙的平均密度為ρ（大約為10^-27kg/m³），如果認為我們的宇宙是這樣一個均勻大球體，其密度使得它的逃逸速度大于真空中的光速c，因此任何物體都不能脫離宇宙，問宇宙半徑至少多大？

Answer 1

分析 （1）任何物體（包括光子）都不能脫離黑洞的束縛，那么黑洞表面脫離的速度應大于光速，根據c≤$\sqrt{\frac{2G{M}_{E}}{{R}_{E}}}$即可求解；
（2）根據質量與密度的關系先求出質量，根據（1）的分析即可求解

解答 解：（1）由題目所提供的信息可知，任何天體均存在其所對應的逃逸速度v₂=$\sqrt{\frac{2GM}{R}}$，
其中M、R為天體的質量和半徑．
對于黑洞模型來說，其逃逸速度大于真空中的光速，
即v₂＞c，
所以?R＜$\frac{2G{M}_{s}}{{C}^{2}}$，因此最大半徑為$\frac{2G{M}_{s}}{{C}^{2}}$．
（2）M=ρ•$\frac{4}{3}$πR³，其中R為宇宙的半徑，ρ為宇宙的密度，
則宇宙所對應的逃逸速度為v₂=$\sqrt{\frac{2GM}{R}}$，
由于宇宙密度使得其逃逸速度大于光速c，
即v₂＞c，
則R＞$\sqrt{\frac{3{C}^{2}}{8πρG}}$
答：（1）最大半徑為$\frac{2G{M}_{s}}{{C}^{2}}$．
（2）宇宙半徑至少為$\sqrt{\frac{3{C}^{2}}{8πρG}}$

點評 本題考查了萬有引力定律定律及圓周運動向心力公式的直接應用，要注意任何物體（包括光子）都不能脫離黑洞的束縛，那么黑洞表面脫離的速度應大于光速．