Question

一豎直平面內的軌道由粗糙斜面 AB、光滑圓弧軌道 BC、粗糙水平直道CD組成（如圖a所示：其中AB與BC相切于B點，C為圓軌道的最低點，且為BC圓弧與CD相切點）．將小球置于軌道ABC上離地面高為 H處由靜止下滑，用力傳感器測出其經過C點時對軌道的壓力N，改變H的大小，可測出相應的 N 大小，N 隨H的變化關系如圖b折線 EFG所示（EF與FG兩直線相連接于F點），FG反向延長交縱軸于一點的坐標是（0，5.8N），重力加速度g取 10m/s²，求：
（1）圓弧軌道的半徑及軌道BC 所對圓心角（可用角度的三角函數值表示）
（2）小球與斜面AB間的動摩擦因數?

Answer 1

分析：（1）若物塊只在圓軌道上運動，由動能定理得到物塊滑到C處的速度與高度H的關系．物塊經過C處時，由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律列出N與速度的關系，聯立得到N與H的解析式，結合圖線求出半徑和圓心角．
（2）如果物塊由斜面上滑下，由動能定理得到速度的表達式，再研究C點的向心力，聯立得到N與H的表達式，用同樣的方法求出動摩擦因數．

解答：解：（1）如果物塊只在圓軌道上運動，則由動能定理  mgH=

1

2

mv2
得  v=

2gH

由向心力公式得  N-mg=m

v2

R

得：N=mg+m

v2

R

=

2mg

R

H+mg
結合EF圖線得：mg=5，則m=0.5kg．
            

2mg

R

=10得  R=1m　　　　　
由數學知識得  cosθ=

R-H

R

=

1-0.2

1

=0.8，則θ=37°
（2）如果物塊由斜面上滑下，由動能定理：
mgH-μmgcosθ（H-0.2）?

1

sinθ

=

1

2

mv2，得mv2=2mgH-

8

3

μmg(H-0.2)
由向心力公式得
N-mg=m

v2

R

得：N=mg+m

v2

R

=

2mg- 8 3 μmg

R

H+

1.6

3

μmg+mg
結合圖線FG的斜率得

2mg- 8 3 μmg

R

=6，得 μ=0.3     
答：
（1）圓弧軌道的半徑是1m，軌道BC所對圓心角是37°．
（2）小球與斜面AB間的動摩擦因數是0.3．

點評：本題根據動能定理和圓周運動的規律得到N與H的解析式，再結合圖線的數學意義，求解軌道半徑等，是常用的數形結合的方法．