Question

11．如圖所示，光滑水平面AB與豎直面內的半圓形軌道在B點銜接，導軌半徑為R，一個質量為m的靜止物塊在A處壓縮彈簧，在彈力的作用下獲某一向右速度，當它經過B點進入導軌瞬間對導軌的壓力為其重力的7倍，之后向上運動恰能完成半圓周運動到達C點，求：
（1）開始時彈簧儲存的彈性勢能；
（2）物塊從B到C克服阻力做的功；
（3）物塊離開C點后落回水平面時的水平距離及動能的大�。�

Answer 1

分析 （1）由B點對導軌的壓力可求得物體在B點的速度，則由動能定理可求得彈簧對物塊的彈力所做的功，根據能量守恒知開始時彈簧儲存的彈性勢能；
（2）由臨界條件利用向心力公式可求得最高點的速度，由動能定理可求得摩擦力所做的功；
（3）由C到落后地面，物體做平拋運動，機械能守恒，則由機械能守恒定理可求得落回水平地面時的動能

解答 解：（1）物體在B點時，做圓周運動，由牛頓第二定律可知：
T-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{6gR}$
從A到C由動能定理，彈力對物塊所做的功為：W=$\frac{1}{2}$mv²=3mgR，根據能量守恒知開始時彈簧儲存的彈性勢能為3mgR；
（2）物體在C點時由牛頓第二定律可知：
mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$；
對BC過程由動能定理可得：
-2mgR-W_f=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$mv²
解得物體克服摩擦力做功：
W_f=$\frac{1}{2}$mgR．
（3）物體從C點到落地過程，物體做平拋運動：
x=v₀t
h=2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
聯立得x=2R
機械能守恒，則由機械能守恒定律可得：
2mgR=E_k-$\frac{1}{2}$mv₀²
物塊落地時的動能E_k=$\frac{5}{2}$mgR．
答：（1）彈簧對物塊的彈力做的功為3mgR；
（2）物塊從B到C克服阻力做的功為$\frac{1}{2}$mgR．
（3）物塊離開C點后落回水平面時的水平距離為2R，動能的大小為$\frac{5}{2}$mgR．

點評 解答本題首先應明確物體運動的三個過程，第一過程彈力做功增加了物體的動能；第二過程做豎直面上的圓周運動，要注意臨界條件的應用；第三過程做平拋運動，機械能守恒．