Question

【題目】如圖是形狀為“2019”的豎直光滑軌道（軌道上端等高），其中數字“0”為半徑R1＝5m的圓，上半圓為單側外軌道，軌道其余部分為管道。數字“9”上部分是一段四分之三的圓弧，圓的半徑R2＝1m：所有管道均平滑連接。現有一質量m＝1kg的小球，小球的直徑略小于管道直徑，且小球直徑遠小于R1和R2大小。當小球以初速度v進入軌道，恰能通過“0”最高點A，并經過B、C點，最后從水平放置的CD管道的D點拋出，恰能無碰撞從管口E點進入傾角為θ的粗糙斜直管，然后小球沿斜直管下滑到底端。在斜直管中，假設小球受到阻力大小恒為其重量的0.3倍。已知E點距管底F的距離L＝5m，求：

（1）小球通過“9”最高點B時對管道的彈力大小和方向；

（2）斜面的傾角的大小；

（3）小球在沿粗糙斜直管下滑到管底F時的速度大小。

Answer 1

【答案】（1）40N，方向向上；（2）53°；（3）m/s

【解析】

（1）小球恰能通過“0”最高點A，由重力提供向心力，根據牛頓第二定律得：

故

根據機械能守恒知，小球通過“9”最高點B時的速度為：

vB＝vA＝5m/s

小球通過B點時，有：

可得：N＝40N，方向向下

根據牛頓第三定律知，小球對管道的彈力大小 N′＝N＝40N，方向向上。

（2）由A到D的過程，由機械能守恒得：

解得 vD＝3m/s

由D點作平拋運動到E點的過程，有：

2R1﹣2R2＝

可得 vy＝4m/s

所以 tanθ＝

可得 θ＝53°

（3）小球平拋運動到E點時的速度為：

由E點到F點的過程，由動能定理得：

（mgsin53°﹣kmg）L＝

解得：vF＝10m/s