Question

在地面上方足夠高的地方，存在一個高度d =0.3 m的“相互作用區(qū)域”（如圖中劃有虛線的部分）。一個小圓環(huán)A套在一根均勻直桿B上，A和B的質量均為m。開始時A處于B的最下端，B豎直放置，A距“相互作用區(qū)域”的高度h=0.2 m。讓A和B一起從靜止開始下落，它們之間的滑動摩擦力f =0.5mg；當A進入“相互作用區(qū)域”時，A受到方向向上的恒力F的作用，F =2mg；“相互作用區(qū)域”對桿B不產(chǎn)生作用力。不計空氣阻力，取重力加速度g =10 m/s²。?

（1）求桿B剛進入“相互作用區(qū)域”時的速度。??

（2）假如桿B著地前A和B的速度相同，求這一速度。（設桿B在下落過程中始終保持豎直且足夠長）

Answer 1

解法一：（1）設A和B一起由靜止下落至“相互作用區(qū)域”時的速度為v₁,根據(jù)動能定理有：

?2mgh =×2mv₁²　　①

代入數(shù)據(jù)解得：v₁ =2.0 m/s　②?

（2）A進入“相互作用區(qū)域”后，受到方向豎直向下的重力mg、滑動摩擦力f和豎直向上的恒力F的作用，做減速運動，設離開“相互作用區(qū)域”時的速度為v_a，

同理有：（mg +f -F）d = m(v_a²-v₁²)?　　③???

代入數(shù)據(jù)解得：v_a=1.0 m/s　④

A進入“相互作用區(qū)域”之后，把A和B兩個物體構成的整體作為研究對象，外力之和為零，動量守恒。設A離開“相互作用區(qū)域”時B的速度為v_b，根據(jù)動量守恒定律有2mv₁=mv_a+mv_b⑤?

代入數(shù)據(jù)解得：v_b =3.0 m/s　⑥?

設A離開“相互作用區(qū)域”后到A和B的速度達到相同時，經(jīng)過的時間為t，A和B的共同速度為v₂。?

在這一過程中，因為v_a＜v_b,A所受滑動摩擦力f方向向下，B所受滑動摩擦力f方向向上，根據(jù)動量定理，對A有：（mg+f）t =m(v₂-v_a)　　?⑦

同理對B有：（mg -f）t =m(v₂-v_b)　　?⑧?

代入數(shù)據(jù)解得v₂ =4.0 m/s     ⑨?

解法二：過程1：A在“相互區(qū)域”運動時，取方向向下為正方向，A受到豎直向下的重力mg、滑動摩擦力f和豎直向上的恒力F作用。?

設加速度a_A1、速度為V_a、運動時間為t₁,根據(jù)牛頓第二定律有??

a_A1= =- g　?①

根據(jù)運動學公式有：v_a = v₀ + a_A1t₁?　②

?d =　③?

代入數(shù)據(jù)解出：t₁=0.2 s,v_a=1 m/s　④

B受到豎直向下的重力mg和豎直向上的滑動摩擦力f的作用。?

同理有：a_B1= = g?　⑤

v_b=v₀+a_B1t₁?　⑥　

代入數(shù)據(jù)解出：v_b=3 m/s　⑦

過程2：A離開“相互作用區(qū)域”后，因為v_a＜v_b,所以A受到豎直向下的重力mg和滑動摩擦力f的作用，B受到豎直向下的重力m和豎直向上的滑動摩擦力f的作用。?

設加速度分別為a_A2、a _B2,共同速度為v，運動時間為t₂。?

同理有：a_A2 = =g?　⑧

a_B2 = = g?　⑨?

v = v_a + a_A2t₂?　⑩?

v =v_b + a_B2t₂????

由上述四式代入數(shù)據(jù)解得：v =4m/s