Question

如圖所示，質量M=0.9㎏的靶盒置于光滑水平導軌上，當靶盒在O點時，不受水平力作用，每當它離開O點時，便始終受到一個指向O點的大小F=40N的水平力作用．在P點處有一個固定的發射器，每次發射出一顆水平速度v₀=60m/s、質量m=0.1㎏的子彈（子彈在空中運動時可以看作不受任何力作用），當子彈打入靶盒后便留在盒內，設開始時靶盒靜止在O點，且約定每當靶盒停在或到達O點時，都有一顆子彈進入靶盒內，靶盒在其他位置時沒有子彈進入
（1）當第三顆子彈進入靶盒后，靶盒離開O點的速度多大？
（2）前三顆子彈射入靶盒后，靶盒中產生的內能多大？
（3）若發射器右端到靶盒左端的距離S=0.20m，問至少應發射幾顆子彈后停止射擊，才能使靶盒在運動過程中不碰撞發射器？

Answer 1

分析：第一顆子彈進入靶盒的過程中，動量是守恒的，用動量守恒定律求出第一顆子彈和靶盒的共同速度v₁，之后第一顆子彈和靶盒在力F的作用下做勻減速運動，速度為零后做反方向運動，再回到O點，此時接收第二顆子彈，在接收第二顆子彈的過程中，整體動量守恒，由動量守恒定律可知，此時的速度為零．用求第一顆子彈進入靶盒的方法求出第三課子彈射入靶盒后系統的共同速度V₃；
由能量守恒求系統損失的機械能即產生的內能；
由第一問的分析可知，當靶盒接收奇數顆子彈時，會靜止于O點，靶盒接收偶數顆子彈時，靶盒和子彈才會在力F的作用下向右作勻減速運動，由動量守恒可知，隨著子彈數的增加，靶盒和子彈開始向右運動的速度變小，所以離開O點最大距離也就變小，當最大距離小于0.2m時，就不會碰到發射器．運用動量守恒定律和動能定理可求出當第幾顆子彈射入靶盒后，不會和發射器碰撞．

解答：解：（1）每次子彈與靶盒作用的極短時間內系統動量守恒，靶盒返回O點時速度等大反向，第偶數顆子彈射入后靶盒停止
當第三顆子彈射入后，設靶盒的速度為v₃，則有mv₀=（M+3m）v₃
代入數據得：v₃=5m/s
（2）由系統的能量守恒有：△E=

3

2

mv₀²-

1

2

（3m+M）v₃²
解得：△E=525J
（3）第偶數顆子彈射入后靶盒停止，設為n顆，
則：mv₀=（M+nm）v_n…⑩
靶盒O點的最遠距離為S  動能定理有0-

1

2

(M+nm)

v

2 n

=-Fs
靶盒與發射器不碰撞   s≤0.20m
以上三式解得     n≥13.5
考慮到靶盒最終要運動，n必須是奇數．
所以，至少15顆子彈射入靶盒后，靶盒在運動的過程中不與發射器碰撞．  
答：（1）當第三顆子彈進入靶盒后，靶盒離開O點的速度為5m/s．
（2）前三顆子彈射入靶盒后，靶盒中產生的內能525J．
（3）若發射器右端到靶盒左端的距離S=0.20m，問至少應發射15顆子彈后停止射擊，才能使靶盒在運動過程中不碰撞發射器．

點評：本題要求我們要有較強的對物體運動的分析能力，要能分析出當有奇數顆子彈打入靶盒時，靶盒是會靜止在O點的，偶數顆子彈打入靶盒時，靶盒和子彈會一起向右做勻減速運動，并知道，隨著子彈的增加，向右運動的最大距離也會隨之減小．在整個過程中，要注意分析動量守恒的條件（合外力為零或內力遠遠大于外力時），綜合運用動量守恒定律和動能定理來解答．