Question

（2012?廣州一模）如圖，木板A靜止在光滑水平面上，其左端與固定臺階相距x．與滑塊B（可視為質點）相連的細線一端固定在O點．水平拉直細線并給B一個豎直向下的初速度，當B到達最低點時，細線恰好被拉斷，B從A右端的上表面水平滑入．A與臺階碰撞無機械能損失，不計空氣阻力．
已知A的質量為2m，B的質量為m，A、B之間動摩擦因數為μ；細線長為L、能承受的最大拉力為B重力的5倍；A足夠長，B不會從A表面滑出；重力加速度為g．
（1）求B的初速度大小v₀和細線被拉斷瞬間B的速度大小v₁
（2）A與臺階只發(fā)生一次碰撞，求x滿足的條件
（3）x在滿足（2）條件下，討論A與臺階碰撞前瞬間的速度．

Answer 1

分析：（1）根據機械能守恒定律、結合牛頓第二定律，通過繩子的最大拉力求出B的初速度大小v₀和細線被拉斷瞬間B的速度大小v₁．
（2）若A與臺階只碰撞一次，碰撞后必須滿足A的動量大小大于B的動量，結合動能定理求出A與臺階只能碰撞一次的條件．
（3）根據動量守恒定律求出A左端到臺階板前瞬間，A、B恰好達到共同速度木板A移動的位移x₀，然后分情況討論，當x≥x₀物塊與木板共速后與臺階碰撞，當x₀＞x物塊與木板共速前與臺階碰撞，根據動量守恒定律結合動能定理求出A與臺階碰撞前瞬間的速度．

解答：解：（1）滑塊B從釋放到最低點，機械能守恒，有：

1

2

mv02+mgL=

1

2

mv12…①
在最低點，由牛頓運動定律：
T-mg=m

v12

L

…②
又：T=5mg…③
聯立①②③得：v0=

2gL

，v1=2

gL

  
（2）設A與臺階碰撞前瞬間，A、B的速度分別為v_A和v_B，由動量守恒
mv₁=mv_B+2mv_A…④
若A與臺階只碰撞一次，碰撞后必須滿足：

.

2mvA

.

＞

.

mvB

.

…⑤
對A應用動能定理：μmgx=

1

2

×2mvA2…⑥
聯立④⑤⑥解得：x≥

L

4μ

，…⑦
即A與臺階只能碰撞一次的條件是：x≥

L

4μ

．
（3）設x=x₀時，A左端到臺階板前瞬間，A、B恰好達到共同速度v_AB，
由動量守恒  mv₁=（m+2m）v_AB…⑧
對A應用動能定理：μmgx0=

1

2

×2mvAB2…⑨
聯立⑧⑨得：x0=

4L

9μ

…⑩
（i）當x≥x₀即x≥

4L

9μ

時，AB共速后A與擋板碰撞．
由⑧可得A與臺階碰撞前瞬間的速度：vA1=vAB=

v1

3

=

2 gL

3

…⑩
（ii）當x0＞x≥

L

4μ

即

4L

9μ

＞x≥

L

4μ

時，AB共速前A就與臺階碰撞，
對A應用動能定理：μmgx=

1

2

×2mvA22
A與臺階碰撞前瞬間的速度：vA2=

μgx

答：（1）B的初速度大小v0=

2gL

，細線被拉斷瞬間B的速度大小v1=2

gL

．
（2）A與臺階只發(fā)生一次碰撞，求x滿足的條件x≥

L

4μ

．
（3）x≥

4L

9μ

時，A與臺階碰撞前瞬間的速度

2 gL

3

，

4L

9μ

＞x≥

L

4μ

時，A與臺階碰撞前瞬間的速度

μgx

．

點評：本題綜合考查了動能定理、機械能守恒定律、牛頓第二定律、動量守恒定律，綜合性強，對學生能力的要求較高，是一道難題．在第三問中可能AB共速后與臺階碰撞，可能共速前與臺階碰撞．