Question

6．我們常常在電視上能看到一種刺激的水上運動--滑水板，如圖所示．運動員在快艇的水平牽引力作用下，腳踏傾斜滑板在水上勻速滑行，設滑板是光滑的．若運動員與滑板的總質量為m=80kg，滑板的總面積為S=0.12m²，水的密度為ρ=1.0×10³ kg/m³．理論研究表明：當滑板與水平方向的夾角（板前端抬起的角度）為θ時，水對板的作用力大小為N=ρSv²sin²θ，方向垂直于板面．式中v為快艇的牽引速度，S為滑板的滑水面積，
求（1）當θ=37^°時，滑板做勻速運動時水平牽引力的大小
（2）為了使滑板能在水面上滑行，快艇水平牽引滑板的最小速度（可以用根式表示）

Answer 1

分析 （1）隨滑板和運動員整體受力分析，受拉力、支持力和重力，根據平衡條件列式求解；
（2）根據力的平衡求出速度和滑板與水平方向的夾角的關系，根據數學知識導數求該表達式的最小值，從而得出最小速度．

解答 解：（1）以滑板和運動員為研究對象，其受力如圖所示：

Ncosθ=mg                 
Nsinθ=F                    
兩式聯立解得F=600N；
（2）根據題設條件N=ρSv²sin²θ 代入①可得牽引力的速度：
v=$\sqrt{\frac{mg}{{ρSsi{n^2}θcosθ}}}$，
由式中可知：快艇的最小速度只由θ決定，令y=sin²θcosθ，則當y有最大值時，v有最小值．求y的導數并令其為零．$\frac{dy}{dθ}=2sinθco{s^2}θ-si{n^3}θ=0$
解得，$tanθ=\sqrt{2}$．
則${y_{max}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{9}$，
代入速度表達式中，最小速度v_min=$\sqrt{\frac{{3\sqrt{3}mg}}{2ρS}}$=4.2m/s；
答：（1）當θ=37^°時，滑板做勻速運動時水平牽引力的大小為600N；
（2）為了使滑板能在水面上滑行，快艇水平牽引滑板的最小速度為4.2m/s．

點評 本題本來是一道相當難的問題，數學計算較復雜，但使用導數運算后，使的一難題變為一道常規題．