Question

12．如圖所示，小球被輕質細繩系住斜吊著放在靜止的光滑斜面上，設小球質量為m，斜面傾角α=30°，懸線與豎直方向夾角θ=30°，斜面體的質量M=3m，置于粗糙水平地面上．（g=10m/s²）求：
（1）當斜面體靜止時，求細繩對小球拉力的大小．
（2）求斜面體靜止時，地面對斜面體的摩擦力的大小和方向．
（3）若地面對斜面體的最大靜摩擦力等于地面對斜面體支持力的k倍，為了使整個系統始終處于靜止狀態，k值必須滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）對小球受力分析，正交分解，根據平衡條件列方程求解繩子拉力；
（2、3）以小球與劈整體為研究對象，由力的平衡條件列方程，求出地面對斜面體的摩擦力的大小和方向，結合數學知識求解k的最小值．

解答 解：（1）選小球為研究對象，受力分析并合成如圖：

由平衡條件：F′=mg
由平面幾何知識可得：N與F′夾角為30°，T與F′夾角也為30°
故畫出的平行四邊形為菱形，連接對角線便可找出直角三角形：
由：cos30°=$\frac{\frac{G}{2}}{T}$
得：T=$\frac{\sqrt{3}}{3}mg$
（2）、（3）選小球和斜面組成的系統為研究對象，受力分析如圖，

由平衡條件得：
N+Tcos30°=（M+
解得：N=（M+m）g-$\frac{mg}{2}$=Mg+$\frac{mg}{2}$=3.5mg
水平方向上：f=Tsin30°=$\frac{\sqrt{3}}{6}mg$，方向水平向左．
為了使整個系統始終處于靜止狀態，則最大靜摩擦力f_max≥f
所以kN≥f
解得：k≥$\frac{\sqrt{3}}{21}$
答：（1）當斜面體靜止時，細繩對小球拉力的大小為$\frac{\sqrt{3}}{3}mg$；
（2）地面對斜面體的摩擦力的大小為$\frac{\sqrt{3}}{6}mg$，方向水平向左；
（3）為了使整個系統始終處于靜止狀態，k值必須滿足k≥$\frac{\sqrt{3}}{21}$．

點評 對小球和斜面進行受力分析，運用力的合成或分解結合共點力平衡條件解決問題．選擇好合適的研究對象有事半功倍的效果．