Question

2．如圖所示，兩條間距L=1m的光滑金屬導軌制成的斜面和水平面，斜面的中間用阻值為R=2Ω的電阻連接，在水平導軌區域和斜面導軌及其右側區域內分別有豎直向下和豎直向上的勻強磁場B₁、B₂，且B₁=B₂=0.5T．在斜面的頂端e、f兩點分別用等長輕質柔軟細導線連接ab，ab和cd是質量均為m=0.1kg，長度均為1m的兩根金屬棒，ab棒電阻為r₁=2Ω，cd棒電阻為r₂=4Ω，cd棒置于水平導軌上且與導軌垂直，金屬棒、導軌及導軌接觸良好．已知t=0時刻起，cd棒在外力作用下開始水平向右運動（cd始終在水平導軌上運動）．ab棒受到F=0.75+0.2t（N）沿水平向右的力作用，始終處于靜止狀態且靜止時細導線與豎直方向夾角θ=37°，導軌的電阻不計．圖中的虛線為絕緣材料制成的固定支架．（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）

（1）分析并計算說明cd棒在磁場B₁中做何種運動．
（2）t=0時刻起，求1s內通過ab棒的電量q．
（3）若t=0時刻起，2s內作用在cd棒上外力做功為W=21.33J，則這段時間內電阻R上產生的焦耳熱Q_R多大？

Answer 1

分析 （1）ab棒始終靜止，受力保持平衡．對ab棒分析可得出電流與時間的關系，再對cd棒受力分析，由動力學知識可得出cd棒的運動；
（2）根據法拉第電磁感應定律可求得平均電流，由q=It可求解電荷量q；
（3）由動能定理可求得安培力所做的功，再分析電路中能量的轉化關系，利用能的轉化和守恒來求解熱量．

解答 解：（1）ab棒平衡，則由平衡條件有：
F-F_A=mgtan37°
0.75-0.2t-0.5×I_ab×1=0.1×10×0.75
得：I_ab=0.4t（A）                                                
cd棒上電流為：I_cd=2I_ab=0.8t（A）…①，
則回路中電源電動勢E=I_cd R_總 …②
cd棒切割磁感線，產生的感應電動勢為E=B₁Lv…③
聯立①②③得，cd棒的速度為：v=8t                                    
所以，cd棒做初速為零加速度為8m/s²的勻加速直線運動．                           
（2）cd棒的加速度為a=8m/s²，1s內的位移為：S=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$×8×1²=4m 
根據I=$\frac{E}{{R}_{總}}$=$\frac{△Φ}{{R}_{總}t}$=$\frac{BLS}{{R}_{總}t}$                                                         
得通過cd棒的電量、為：q′=It=$\frac{BLS}{{R}_{總}}$
根據電路的結構可得：R_總=r₂+$\frac{R{r}_{1}}{R+{r}_{1}}$=4+$\frac{2×2}{2+2}$=5Ω
所以解得：q′=0.4C；
由串并聯電路的規律可知，通過ab棒的電量為：q=$\frac{1}{2}q′$=0.2C．                                
 （3）t=1.2s時，cd棒的速度為：v=at=16m/s                         
根據動能定理得：W-W_安=$\frac{1}{2}$mv²-0                                      
得1.2s內克服安培力做功為：W_安=16-$\frac{1}{2}$×0.1×16²=8.53J                 
回路中產生的焦耳熱為：Q=W_安=8.53J                              
電阻R上產生的焦耳熱為：Q_R=$\frac{Q}{10}$=0.853J；
答：（1）cd棒做初速為零加速度為8m/s²的勻加速直線運動．
（2）通過ab棒的電量為0.2C．
（3）R上產生的熱耳熱為0.853J．

點評 此題是電磁感應、運動學和能量的綜合運用，要掌握平衡條件及其列式方法：合成法．熟練推導出感應電量表達式，準確分析能量如何轉化．