Question

12．如圖所示，在盛有水的圓柱形容器內豎直地浮著一塊立方體木塊，木塊的邊長為h，其密度為水的密度ρ的一半，橫截面積也為容器截面積的一半，水面高為2h，現用力緩慢地把木板壓到容器底上，設水不會溢出，求壓力所做的功．

Answer 1

分析 由圓柱形木塊的底面積是圓柱形容器底面積的一半，從靜止狀態到木塊剛好沒入水面，此階段，浮力增量是變化的，由于呈線性變化，故可取其中間值作為平均值，計算做功；第二階段，從剛好沒入水面到到達容器底部，壓力不變，根據功的定義求出壓力做功，二者之和即為結果．

解答 解：初始狀態如圖所示：

受壓力F作用，剛開始浸入的過程中，壓力等于浮力增量，且逐漸增大；
由于；圓柱形木塊的底面積是圓柱形容器底面積的一半，則下壓x深度，水面就上升x高度，
壓力即浮力增量：F=△F_浮=ρ×2x×h²g=2ρgxh²
當x=$\frac{h}{4}$時，木塊剛好全部浸入水中，如圖所示

此時壓力：F=$\frac{ρg{h}^{3}}{2}$      ①
這一階段由于壓力即浮力增量是隨x線性增加的，故可以對這一階段的壓力取平均值：$\overline{F}=\frac{F}{2}=\frac{ρg{h}^{3}}{4}$
此階段壓力做功：${W}_{1}=\overline{F}•\frac{h}{4}$     ②
之后為第二階段運動，壓力不變，始終為：F=$\frac{ρg{h}^{3}}{2}$，直至把木塊壓至容器底部，壓力作用距離：$s=2h-\frac{h}{2}-\frac{h}{4}═\frac{5}{4}h$   ③
第二階段壓力做功：W₂=Fs   ④
壓力在該過程中所作的功：W=W₁+W₂     ⑤
聯立①②③④⑤式得：W=$\frac{11ρg{h}^{4}}{16}$
答：壓力在該過程中所作的功為$\frac{11ρg{h}^{4}}{16}$．

點評 本題主要考查了恒力和變力做功的求法，特別要注意本題中浮力也做功，不能忽略，難度適中．