Question

16．如圖所示，傾角θ=30°的光滑傾斜導體軌道（足夠長）與光滑水平導體軌道連接，軌道寬度均為L=1m，電阻忽略不計．勻強磁場I僅分布在水平軌道平面所在區域，方向水平向右，大小B₁=1T，勻強磁場II僅分布在傾斜軌道平面所在區域，方向垂直于傾斜軌道平面向下，大小B₂=2T，現將兩質量均為m=0.4kg，電阻均為R=0.5Ω的相同導體棒ab和cd，垂直于軌道分別置于水平軌道上和傾斜軌道上，并同時由靜止釋放，g=10m/s²．
（1）求導體棒cd沿傾斜軌道下滑的最大速率及此時水平軌道對ad棒的支持力大小；
（2）若已知從開始運動到cd棒達到最大速度的過程中，ab棒產生的焦耳熱Q=0.45J，求該過程中通過cd棒橫截面的電荷量；
（3）若已知cd棒開始運動時距水平軌道高度h=10m，cd棒由靜止釋放后，為使cd棒無感應電流，可讓磁場Ⅱ的磁感應強度隨時間變化，將cd棒開始運動的時刻記為t=0，此時磁場Ⅱ的磁感應強度B₀=2T，試求cd棒在傾斜軌道上下滑的這段時間內，磁場Ⅱ的磁感應強度B隨時間t變化的關系式．

Answer 1

分析 （1）從靜止釋放金屬棒a，先做加速運動，隨著速度增大，棒產生的感應電動勢和感應電流增大，合力減小，加速度減小，由于導軌的傾斜部分足夠長，所以金屬棒在進入水平軌道前做勻速運動，根據法拉第電磁感應定律、歐姆定律、安培力公式和平衡條件求出勻速運動時的速度．
（2）根據法拉第電磁感應定律、歐姆定律、電流計算公式求出電荷量．
（3）為使cd棒中無感應電流，磁通量應不變．由磁通量的計算公式、運動學公式結合分析答題．

解答 解：（1）cd棒勻速運動時速度最大，設為v_m，棒中感應電動勢為E，電流為I，
感應電動勢為：E=B₂Lv_m，
電流為：I=$\frac{E}{2R}$
由平衡條件得：mgsinθ=B₂IL
代入數據解得：v_m=0.5m/s；
由右手定則，感應電流順時針，再根據左手定則，ab棒受到的安培力豎直向下，
${I}_{m}^{\;}=\frac{{B}_{2}^{\;}L{v}_{m}^{\;}}{2R}=\frac{2×1×0.5}{2×0.5}=1A$
對ab棒：${F}_{N}^{\;}=mg+{B}_{1}^{\;}{I}_{1m}^{\;}L=4+1×1×1=5N$
（2）設cd從開始運動到達最大速度的過程中經過的時間為t，通過的距離為x，cd棒中平均感應電動勢為E₁，平均電流為I₁，通過cd棒橫截面的電荷量為q，
由能量守恒定律得：mgxsinθ=$\frac{1}{2}$mv_m²+2Q，
代入數據解得：$x=\frac{0.95}{2}m$
電動勢為：${E}_{1}^{\;}={B}_{2}^{\;}L\frac{x}{t}$，
電流為：I₁=$\frac{{E}_{1}^{\;}}{2R}$，
電荷量為：q=I₁t，
即$q=\frac{{B}_{2}^{\;}Lx}{2R}$
代入數據解得：q=0.95C；
（3）設cd棒開始運動時穿過回路的磁通量為Φ₀，cd棒在傾斜軌道上下滑的過程中，設加速度大小為a，經過時間t通過的距離為x₁，穿過回路的磁通量為Φ，cd棒在傾斜軌道上下滑時間為t₀，則：Φ₀=B₀L$\frac{h}{sinθ}$
加速度為：a=gsinθ，
位移為：x₁=$\frac{1}{2}$at²
磁通量為：Φ=BL（$\frac{h}{sinθ}$-x₁），$\frac{h}{sinθ}$=$\frac{1}{2}$at₀²
解得：t₀=$\sqrt{8}$s，
為使cd棒中無感應電流，必須有：Φ₀=Φ，
解得：B=$\frac{16}{8-{t}_{\;}^{2}}$T （t＜$\sqrt{8}$s）；
答：（1）導體棒cd沿斜軌道下滑的最大速度的大小為1m/s此時水平軌道對ad棒的支持力大小5N；
（2）該過程中通過cd棒橫截面的電荷量為1C；
（3）磁場Ⅱ的磁感應強度B隨時間t變化的關系式為B=$\frac{16}{8-{t}_{\;}^{2}}$T （t＜$\sqrt{8}$s）．

點評 本題分析時，一定要注意題中條件：導軌的傾斜部分和水平部分都足夠長，分析知道在斜軌上棒最終勻速運動，在水平軌道上最終靜止，再運用電磁感應的規律和力學知識求解．