Question

如圖甲所示，在兩平行金屬板的中線OO′某處放置一個粒子源，粒子沿OO¹方向連續不斷地放出速度v0=1.0×105m/s的帶正電的粒子．已知帶電粒子的比荷

q

m

=1.0×108C/kg，粒子的重力和粒子之間的作用力均可忽略不計．在靠近兩平行金屬板邊緣的右側分布有范圍足夠大的勻強磁場，磁感應強度B=0.01πT，方向垂直于紙面向里，磁場邊緣MN與中線OO′垂直．兩平行金屬板間的電壓U隨時間變化的U-t圖線如圖乙所示．若t=0.1s時刻粒子源放出的粒子恰能從平行金屬板邊緣離開電場（設在每個粒子通過電場區域的時間內，可以把板間的電場看作是恒定的）．
求：（1）t=0.1s時刻粒子源放出的粒子離開電場時的速度大小和方向．
（2）從粒子源放出的粒子在磁場中運動的最短時間和最長時間．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子進入電場后做類平拋運動，在t=0.1s時刻射入電場的帶電粒子恰能從平行金屬板邊緣射出，偏轉距離y=

1

2

d，運用運動的分解，先由偏轉距離求得時間t，再由速度的合成求該粒子射出電場時速度的大小；
（2）帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動．不同時刻釋放的粒子在電場中的偏角θ不同，進入磁場后在磁場中運動的時間不同，θ角越大的進入磁場中的偏角越大，運動時間越長．t=0時刻釋放的粒子，在電場中的偏角為0°，在磁場中運動的時間最短，t=0.1s時刻釋放的粒子，在電場中的偏角最大為45°，即可求得在磁場中的最短和最長運動時間．

解答：解：（1）設板間距為d，t=0.1s時刻釋放的粒子在板間做類平拋運動
在沿電場方向上   

d

2

=

qU

2dm

t2…①
粒子離開電場時，沿電場方向的分速度vy=

qU

dm

t…②
粒子離開電場時的速度 v=

v 2 0 + v 2 y

…③
粒子在電場中的偏角為θ，tanθ=

vy

v0

…④
由①②③④得   v=

v 2 0 + qU m

=1.4×105m/s
  tanθ=

qU m v 2 0

=1
得 θ=45° 
（2）帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的周期
  qvB=m

v2

R

   
  T=

2πR

v

                 
則得周期 T=

2πm

qB

=2×10-6s
不同時刻釋放的粒子在電場中的偏角θ不同，進入磁場后在磁場中運動的時間不同，θ角越大的進入磁場中的偏角越大，運動時間越長．
t=0時刻釋放的粒子，在電場中的偏角為0°，在磁場中運動的時間最短 t1=

T

2

=1.0×10-6s；
t=0.1s時刻釋放的粒子，在電場中的偏角最大為45°，在磁場中的運動時間 t2=

3T

4

=1.5×10-6s
而其它時刻釋放的粒子，在電場中的偏角介于0°和45°之間．因此，粒子在磁場中運動的時間介于1.0×10^-6s和1.5×10^-6s之間．
答：
（1）t=0.1s時刻粒子源放出的粒子離開電場時的速度大小為1.4×10⁵m/s，方向與水平方向夾角為45°斜向下．
（2）從粒子源放出的粒子在磁場中運動的最短時間和最長時間分別為1.0×10^-6s和1.5×10^-6s．

點評：本題是組合場問題，綜合應用牛頓運動定律、運動學知識以及幾何知識，中等難度．