Question

10．如圖所示，光滑直桿AB長為L，B端固定一根勁度系數為k、原長為l₀的輕彈簧，質量為m的小球套在光滑直桿上并與彈簧的上端連接．OO'為過B點的豎直軸，桿與水平面間的夾角始終為θ．
（1）桿保持靜止狀態，讓小球從彈簧的原長位置靜止釋放，求小球釋放瞬間的加速度大小a及小球速度最大時彈簧的壓縮量△l₁；
（2）當小球隨光滑直桿一起繞OO'軸勻速轉動時，彈簧伸長量為△l₂，求勻速轉動的角速度ω；
（3）若θ=30°，移去彈簧，當桿繞OO'軸以角速度ω₀=$\sqrt{\frac{g}{L}}$勻速轉動時，小球恰好在桿上某一位置隨桿在水平面內勻速轉動，求小球離B點的距離L₀．

Answer 1

分析 （1）小球從彈簧的原長位置靜止釋放時，根據牛頓第二定律求解加速度，小球速度最大時其加速度為零，根據合力為零和胡克定律求解△l₁；
（2）設彈簧伸長△l₂時，對小球受力分析，根據向心力公式列式求解；
（3）當桿繞OO'軸以角速度ω₀勻速轉動時，重力和支持力的合力提供向心力，根據向心力公式列式求解即可．

解答 解：（1）小球從彈簧的原長位置靜止釋放時，根據牛頓第二定律有：
mgsin θ=ma
解得：a=gsin θ
小球速度最大時其加速度為零，則有：
k△l₁=mgsin θ
解得：△l₁=$\frac{mgsinθ}{k}$
（2）設彈簧伸長△l₂時，球受力如圖所示，水平方向上有：
F_Nsin θ+k△l₂cos θ=mω²（l₀+△l₂）cos θ
豎直方向上有：F_Ncos θ-k△l₂sin θ-mg=0
解得：ω=$\sqrt{\frac{k△{l}_{2}-mgsinθ}{mrcosθ}}$
（3）當桿繞OO'軸以角速度ω₀勻速轉動時，設小球距離B點L₀，
此時有：mgtan θ=mL₀cos θ
解得：L₀=$\frac{gtanθ}{cosθ}=\frac{2}{3}L$
答：（1）桿保持靜止狀態，讓小球從彈簧的原長位置靜止釋放，小球釋放瞬間的加速度大小a及小球速度最大時彈簧的壓縮量△l₁為$\frac{mgsinθ}{k}$；
（2）當小球隨光滑直桿一起繞OO'軸勻速轉動時，彈簧伸長量為△l₂，勻速轉動的角速度ω為$\sqrt{\frac{k△{l}_{2}-mgsinθ}{mrcosθ}}$；
（3）小球離B點的距離L₀為$\frac{2}{3}L$．

點評 本題考查了牛頓第二定律、胡克定律與圓周運動的綜合，要明確小球做勻速轉動時，靠合力提供向心力，由靜止釋放時，加速度為零時速度最大．