Question

圖中A、B之間為一峽谷，相距d=10.0m，C為固定在懸崖上的一根橫梁，一籮筐D通過兩根輕繩掛在橫梁上，當籮筐靜止時，它正好處在峽谷AB的正中央，且和峽谷兩邊的平地差不多在同一水平面上. 已知筐的質量M＝200kg，每根繩的長度都是l=50.0m,筐的大小和d相比可忽略不計. 現有一人位于峽谷的一邊A處，他想到達峽谷的對岸B處，在他身邊有很多質量差不多都是m=2.00kg的石塊，于是他便不斷把石塊拋入籮筐，使籮筐動起來，當筐擺到A處時，他就跨入筐中，當筐擺到B處時，再跨出筐到達B處. 如果此人每次只向筐中扔一個石塊，當石塊擊中筐時，筐恰好都位于峽谷的正中央，石塊擊中筐后隨即落在筐內并和筐一起運動，石塊擊筐的時刻，其速度的大小v₀=4.0m/s,方向都是水平的，試求：        （1）此人需向籮筐中扔的石塊數.

（2）從扔出第一個石塊起到此人到達B處所經過的時間.

Answer 1

（1）128個石塊（2）29.98分

解析:

（1）設第一個石塊扔入籮筐后，筐開始運動的速度為V₁，由動量守恒定律有

 ①           解得：    ②

當第二個石塊剛要進籮筐時，籮筐恰好剛回到峽谷中央，速度的大小為V₁，方向與石塊速度V₀的方向相同，設石塊進入筐后，筐的速度為V₂，由動量守恒定律有

  ③，由②③兩式，得   ④

當第n個石塊進入筐時，筐的速度為     ⑤

若籮筐具有速度V_n后，恰好能擺到峽谷的A處，此時，筐上升的高度為h，則由能量關系

  ⑥        而：     ⑦

解⑤、⑥、⑦式得       ⑧

代入數據，得：          ⑨      即需向籮筐中扔進128個石塊.

    (2)從拋出第一個石塊到石塊進入籮筐經歷的時間

                       ⑩

籮筐擺動經歷一個周期T，第二個石塊進入筐，經歷2個周期即2T，第三個石塊進入筐，……，從第一個石塊進入筐至第n個石塊進入筐共經歷時間

                  （11）

自第n個石塊進入筐到筐擺到A處，人跨入筐所經歷的時間 （12）

從人跨入筐到筐擺到B處經歷時間 （13）

由此得自扔出第一個石塊到此人到達B處總共需時間

     （14）

注意到筐擺動的周期：                （15）

代入數據得：t=1798.7秒＝29.98分            （16）