Question

如圖是建筑工地上常用的一種“深坑打夯機”示意圖，固定底座放在地面上，夯桿從固定底座上、下兩個孔中穿過，這樣夯桿在底座的約束下只能上下運動，電動機帶動滾輪勻速轉動，將夯桿從深坑中豎直提上來，當夯桿底端剛到達坑口時，滾輪與夯桿分離，將桿釋放，夯桿在自身重力作用下落回深坑，夯實坑底；然后滾輪再次壓緊，夯桿提上來，如此周而復始。已知滾輪邊緣線速度恒為v=4 m/s，滾輪對夯桿的正壓力F_n=4×10⁴ N，滾輪與夯桿間的動摩擦因數約為μ=0.3，夯桿質量m=1×10³ kg，坑深h=6.4 m。假定在打夯過程中坑的深度不發生變化，在任何情形之下桿都不會脫離固定底座的約束，不計固定底座與夯桿之間的摩擦力，取g=10 m/s²。求：

(1)每個打夯周期中電動機對夯桿所做的功。

(2)每個打夯周期中滾輪與夯桿間因摩擦產生的熱量。

(3)打夯周期。

Answer 1

(1)W=7.2×10⁴ J (2)Q=4.8×10⁴ J

(3)T=4.2 s

解析：(1)桿在上升過程中，經歷了三個運動階段：①加速上升階段，輪與桿之間發生相對滑動，桿受到滑動摩擦力；②夯桿勻速上升階段，此過程中輪的邊緣線速度等于桿的運動速度，輪與桿之間無相對滑動，桿受到靜摩擦力，靜摩擦力與重力平衡；③輪與桿分離后，桿做豎直上拋運動，桿只受重力，此時電動機對它不做功。

加速上升階段加速度a=

上升高度h₁=

電動機做的功W₁=μF_Nh₁

夯桿勻速上升階段，上升高度h₂=h-h₁

電動機做的功W₂=mgh₂

故每個打夯周期中，電動機對夯桿所做的功W=W₁+W₂=7.2×10⁴ J

(2)夯桿加速上升的時間t₁==2 s

相對位移是L=vt₁-h₁=4 m

因摩擦產生的熱量Q=μF_NL=4.8×10⁴ J

(3)夯桿勻速上升的時間是t₂==0.6 s

設夯桿做豎直上拋運動再落到坑底的時間是t₃，則：

-h=vt₃-

解得：t₃=1.6 s

即得打夯周期T=t₁+t₂+t₃=4.2 s