Question

（2009?北京）已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，不考慮地球自轉的影響．
（1）推導第一宇宙速度v₁的表達式；
（2）若衛星繞地球做勻速圓周運動，運行軌道距離地面高度為h，求衛星的運行周期T．

Answer 1

分析：（1）第一宇宙速度是衛星在近地圓軌道上的環繞速度，重力等于萬有引力，引力等于向心力，列式求解；
（2）根據萬有引力提供向心力即可求解．

解答：解：（1）設衛星的質量為m，地球的質量為M，
在地球表面附近滿足 

G Mm R2 =mg

得    GM=R²g①
衛星做圓周運動的向心力等于它受到的萬有引力m

v 2 1

R

=G

Mm

R2

②
①式代入②式，得到v1=

Rg

故第一宇宙速度v₁的表達式為v1=

Rg

．
（2）衛星受到的萬有引力為F=G

Mm

(R+h)2

=

mgR2

(R+h)2

    ③
由牛頓第二定律F=m

4π2

T2

(R+h)    ④
③、④聯立解得T=

2π

R

(R+h)3 g

故衛星的運行周期T為

2π

R

(R+h)3 g

．

點評：衛星所受的萬有引力等于向心力、地面附近引力等于重力是衛星類問題必須要考慮的問題，本題根據這兩個關系即可列式求解！