Question

如圖所示，水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點，自然狀態時其右端位于B點．水平桌面右側有一豎直放置的光滑軌道MNP，其形狀為半徑R=0.8m的圓環剪去了左上角135°的圓弧，MN為其豎直直徑，P點到桌面的豎直距離也是R．用質量m₁=0.2kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點，釋放后彈簧恢復原長時物塊恰好停止在B點．用同種材料、質量為m₂=0.1kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點釋放，物塊通過B點后其位移與時間的關系為x=6t-2t²，物塊飛離桌面后由P點沿切線落入圓軌道．g=10m/s²，求：
（1）BD間的水平距離．
（2）判斷m₂能否沿圓軌道到達M點．
（3）釋放后m₂運動過程中克服摩擦力做的功．

Answer 1

分析：（1）根據物塊過B點后其位移與時間的關系得出初速度和加速度．進而根據位移-速度公式求出位移；
（2）物塊離開D點做平拋運動，由P點沿圓軌道切線落入圓軌道，知道了到達P點的速度方向，將P點的速度分解為水平方向和豎直方向，根據豎直方向上做自由落體運動求出豎直分速度，再根據角度關系求出水平分速度，即離開D點時的速度v_D．
（3）物塊在內軌道做圓周運動，在最高點有臨界速度，則mg=m

v2

R

，根據機械能守恒定律，求出M點的速度，與臨界速度進行比較，判斷其能否沿圓軌道到達M點．

解答：解：（1）設物塊由D點以v_D做平拋，落到P點時其豎直速度為：vy=

2gR

根據幾何關系有：

vy

vD

=tan45°
解得：v_D=4m/s
根據物塊過B點后其位移與時間的關系為x=6t-2t²，可得在桌面上過B點后初速為v₀=6m/s，加速度a=-4m/s²
所以BD間位移為：xBD=

v 2 D -v 2 0

2a

=2.5m
（2）設物塊到達M點的臨界速度為v_m，有：
m2g=m2

v 2 M

R

v

M

=

gR

=2

2

m/s
由機械能守恒定律得：

1

2

m2v

′2 M

=

1

2

m2v

2 D

-

2

2

m2gR
解得：

v

′ M

=

16-8 2

m/s
因為

16-8 2

＜2

2

物塊不能到達M點
（3）設彈簧長為AC時的彈性勢能為E_P，物塊與桌面間的動摩擦因數為μ，釋放m₁時有：
E_P=μm₁gs_CB
釋放m₂時有：
E_P=μm₂gs_CB+

1

2

m2v

2 0

且m₁=2m₂，
得：E_P=m₂v₀²=3.6J
m₂在桌面上運動過程中克服摩擦力做功為W_f，
則E_P-W_f=

1

2

m₂v_d²  
得：w_f=2.8J
答：（1）BD間的水平距離為2.5m．
（2）m₂不能否沿圓軌道到達M點．
（3）釋放后m₂運動過程中克服摩擦力做的功為2.8J

點評：該題涉及到多個運動過程，主要考查了機械能守恒定律、平拋運動基本公式、圓周運動向心力公式的應用，用到的知識點及公式較多，難度較大，屬于難題．