Question

直立輕彈簧的下端與水平地面上質量為M=0.20 kg的甲木塊連接，輕彈簧上端靜止于A點（如圖1），再將質量也為M=0.20 kg的乙木塊與彈簧的上端連接，當甲、乙及彈簧均處于靜止狀態時，彈簧上端位于B點（如圖2）。現向下用力壓乙，當彈簧上端下降到C點時將彈簧鎖定，C、A兩點間的距離為Δl=6.0 cm。一個質量為m=0.10 kg的小球丙從距離乙正上方h=0.45 m處自由落下（如圖3），當丙與乙剛接觸時，彈簧立即被解除鎖定，之后，丙與乙發生彈性碰撞（碰撞時間極短），碰撞后取走小球丙，當甲第一次剛離開地面時乙的速度為v=2.0 m/s。求從彈簧被解除鎖定至甲第一次剛離開地面時，彈簧彈性勢能的改變量。(g=10 m/s²)

Answer 1

解：設丙自由下落h時速度為v₀，根據自由落體運動規律

v₀==3.0 m/s①

解除鎖定后，乙與丙發生彈性碰撞，設碰后乙、丙的速度分別為v_乙、v_丙，根據動量守恒定律

mv₀=mv_丙+Mv_乙②

根據彈性碰撞動能守恒  mv₀²=Mv_乙²+mv_丙²③

聯立①②③解得（舍去）

④

碰后，乙立即以v_乙=2.0 m/s的速度從C點向下運動，從此時起直到甲第一次剛離開地面的時間內，乙在自身重力和彈簧彈力的共同作用下以B點為平衡位置做簡諧運動（如圖）.

當乙第一次回到平衡位置B時，彈簧相對于原長的壓縮量（圖2）x₁=⑤

當甲第一次剛離開地面時，彈簧相對于原長的伸長量（圖4）  x₂=⑥

所以根據簡諧振動的對稱性可知  x₁+x₂=Δl-x₁⑦

則甲第一次剛離開地面時乙的速度為v=2.0 m/s，v和v_乙等大反向，且x₁=x₂==2 cm⑧

從碰撞結束至甲第一次剛離開地面時，對于乙和彈簧組成的系統，動能變化量為ΔE_k=Mv²-Mv_乙²=0

根據功能關系，系統重力勢能的增加量ΔE_重等于彈性勢能的減少量ΔE_彈

ΔE_彈=ΔE_重⑨

重力勢能的增加量  ΔE_重=Mg(x₂+Δl)⑩

所以彈簧彈性勢能的減少量為  ΔE_彈=Mg(x₂+Δl)=0.16 J.