Question

如圖所示，質量m=1.0kg的物體，放在足夠長的固定斜面底端，斜面傾角θ=37°，物體與斜面間的動摩擦因數μ=0.25．在通過細線用平行斜面向上的恒定拉力F=12.0N，將物體由靜止開始沿斜面向上拉動的過程中，經過時間t₁=2.0s，細線突然斷了．求：
（1）細線斷開時，物體運動速度v₁的大小；
（2）從細線斷開到物體返回斜面底端所用時間t．

Answer 1

分析：（1）物體在拉力F作用下沿斜面方向做勻加速直線運動，分析受力情況：重力mg、拉力F、支持力N、滑動摩擦力f，作出力圖．物體垂直斜面方向處于平衡狀態，根據力的正交分解法，由牛頓第二定律列方程求出加速度．再由速度公式求出細線斷開時，物體運動速度v₁的大小．
（2）細線斷開后，物體受到重力mg、支持力N、滑動摩擦力f，作出力圖，根據由牛頓第二定律求出加速度，由速度公式求出上滑的時間，由速度-位移關系式求出上滑的位移．由位移公式求出勻加速運動上滑的位移，得到物體沿斜面上滑的總位移．物體滑到最高點后，沿斜面向下做勻加速運動，受到重力、支持力和滑動摩擦力，作出力圖，由牛頓定律求出加速度．由于下滑與上滑的位移大小相等，再由位移公式求出下滑的時間，最后求出細線斷開到物體返回斜面底端所用時間t．

解答：解：
（1）物體在拉力F作用下沿斜面向上運動，受力如答圖1：重力mg、拉力F、支持力N、滑動摩擦力f．
由牛頓第二定律得
   F-mgsinθ-f=ma₁
   N-mgcosθ=0
又f=μN　　　　
聯立得：a1=

F-mgsinθ-μmgcosθ

m

=4.0 m/s²
所以細線斷開時，物體速度的大小：v₁=a₁t₁=4.0×2.0=8.0m/s　
（2）細線剛斷開時，物體上滑的位移為：x1=

1

2

a1

t

2 1

=

1

2

×4.0×(2.0)2=8.0 m
細線斷開后物體沿斜面向上做勻減速運動，根據牛頓第二定律得
-mgsinθ-f=ma₂
   N-mgcosθ=0
   又f=μN   聯立得到a₂=-gsinθ-μgcosθ=-8.0 m/s²　　
由v_t=v₀-at，解得物體做勻減速運動到停止的時間：t2=

v1

a2

=

8.0

8.0

s=1.0 s
由v_t²-v₀²=-2ax，解得勻減速運動到停止的位移：x2=

v 2 1

2a2

=

(8.0)2

2×8.0

=4.0m　　
物體沿斜面向下做勻加速運動，由牛頓第二定律得
  f-mgsinθ=ma₃
N-mgcosθ=0
又f=μN   解得a₃=μgcosθ-gsinθ=-4.0 m/s²　
設物體下滑的時間為t₃，則x3=x1+x2=

1

2

a3

t

2 3

代入數據，解得：t3=

6

=2.45 s　　
所以從細線斷開到物體返回斜面底端所用時間為：t=t₂+t₃=3.45s　　　
答：從細線斷開到物體返回斜面底端所用時間為3.45s．

點評：本題應用牛頓第二定律與運動學公式結合解決復雜的動力學問題，也可以運用動量定理和動能定理結合求解．