Question

我國北方常遭遇嚴重的沙塵暴天氣．所謂沙塵暴可簡化為如下情景：快速向上刮起的大風將大量沙塵顆粒揚起后懸浮在空中，可視為這時風對沙塵的作用力與沙塵的重力平衡．已知風對沙塵粒作用力大小的可近似表達為 f=ρπr² v ²，式中ρ_空為空氣密度，r為沙塵粒的半徑（沙塵粒可近似看成球體，且體積V=πr³），v為風速．如果沙塵粒的密度ρ_沙=3×10³kg/m³，沙塵粒的半徑r=2.5×10^-4m，地面的空氣密度ρ_空=1.25kg/m³，若空氣密度ρ_空 隨地面高度h的變化關系為每升高1km，空氣密度減少0.2kg/m³（g取10m/s²）．求：
（1）要形成沙塵暴現象，地面的風速至少為多少？
（2）當地面風速為8m/s時，沙塵暴的最大高度為多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）沙塵顆粒受豎直向上的風力f與豎直向下的重力G作用處于平衡狀態，由二力平衡條件知，重力G和風力F相等，列出等式，解方程求出風的速度；
（2）由平衡條件求出風速為8m/s時空氣的密度，再求出空氣密度隨高度變化的關系，最后由空氣的密度求出沙塵暴的高度．
解答：解：（1）沙塵顆粒受重力G=mg=ρ_沙Vg=ρ_沙πr³g與空氣作用力為f=πρ_空r²v²作用而平衡，
在地面附近空氣密度ρ=1.25kg/m³，由平衡條件得：ρ_沙 πr³g=ρ_空πr²v²，
則v===4m/s；
（2）當風速v=8m/s時，由ρ_沙 πr³g=ρ_空′πr²v²，得：

其中ρ_空′=ρ_空-kh 

故h=-= km- km=4.7km
答：（1）要形成沙塵暴現象，地面的風速至少為4m/s；
（2）當地面風速為8m/s時，沙塵暴的最大高度為4.7km．
點評：沙塵顆粒被揚起后懸浮在空氣中，是靜止的物體，受到平衡力的作用，根據平衡條件列出等式進行計算是解題的關鍵．