Question

20世紀50年代，物理學家發現了“電子偶素”．所謂“電子偶素”，實際上是指由一個負電子和一個正電子繞它們連線的中點旋轉所形成的相對穩定的系統．已知正、負電子的質量均為m_e，帶電荷量均為e，靜電力常量為k，普朗克常量為h．
（1）設“電子偶素”中正、負電子繞它們連線的中點做勻速圓周運動的軌道半徑為r、運動速度為v，根據量子化理論上述物理量滿足關系式：2mevnrn=

nh

2π

（n=1，2，3，…）．試證明n=1時，正、負電子做勻速圓周運動的速率v1=

πke2

h

（2）已知“電子偶素”的能量為正、負電子運動的動能和系統的電勢能之和．當正、負電子相距d時系統的電勢能為Ep=-k

e2

d

．試求n=1時，“電子偶素”的能量E₁．

Answer 1

分析：（1）由正負電子的庫侖力提供向心力，從而即可證明．
（2）由題意可知，系統的電勢能，及電子的動能，可求得n=1時，“電子偶素”的能量．

解答：解：（1）設n=1時電子運轉軌道半徑為r₁，
此時正負電子間庫侖力F=k

e2

4 r 2 1

此庫侖作為向心力F=me

v 2 1

r1

由題中量子化理論可知，n=1時 2mev1r1=

h

2π

聯立上式可得v1=

πke2

h

（2）由題意可知，系統的電勢能EP=-k

e2

2r1

  
每個電子動能EK=

1

2

me

v

2 1

系統的能量E=2E_K+E_P
聯立可得E1=-

π2mek2e4

h2

答：（1）n=1時，正、負電子做勻速圓周運動的速率v1=

πke2

h

；
（2）n=1時，“電子偶素”的能量為E1=-

π2mek2e4

h2

．

點評：考查電子受到的電場力作用為向心力做勻速圓周運動，掌握牛頓第二定律的應用，知道系統的能量是動能與電勢能之和．