Question

5．某學校課外科技小組的同學為學校的廁所設計了一個自動沖刷水箱．這種水箱能夠把自來水管持續供給的較小流量的水儲備到一定量后，自動開啟放水閥，將水集中放出，這樣就可以以較大的水流沖刷便池．如圖所示，A是一面積為S₁的圓形放水閥門，其質量和厚度均忽略不計，且恰好能將排水管口蓋嚴．閥門的左端與排水管口的邊緣相連并能繞垂直紙面的軸O向上轉動，右端通過一很小的掛鉤及連桿與浮子B相連，連桿的長度為h₁，連桿質量和閥門轉動受到的摩擦均不計．若將浮子B設計為一個質量為m、高為h₂的空心圓柱體，它能將閥門拉起的最小橫截面積S₂是多少？

Answer 1

分析 先對浮子受力分析，浮子靜止時浮子受到向上的浮力和向下的拉力和重力，浮子剛好將閥門拉起時，浮子和閥門連接在以O為支點的杠桿上，根據杠桿平衡條件列出等式，求出浮力的表達式，最后根據阿基米德原理求出它能將閥門拉起的最小橫截面積．

解答 解：當浮子B處于靜止狀態時，F_浮=T+mg…①
根據杠桿杠桿平衡原理，剛好將閥門打開時應滿足Td=F_水$\fracp9vv5xb5{2}$=P_水S₁$\fracp9vv5xb5{2}$，即T=P_水$\frac{{S}_{1}^{\;}}{2}$…②（d為閥門的直徑），
①②聯立可得：F_浮=$\frac{{ρ}_{水}^{\;}{S}_{1}^{\;}}{2}$+mg，
因為F_浮=ρ_水gV_排，浮子剛好全部沒入水中的面積就是最小面積，
所以ρ_水gh₂S₂=mg+$\frac{{ρ}_{水}^{\;}g（{h}_{1}^{\;}+{h}_{2}^{\;}）{S}_{1}^{\;}}{2}$，
整理可得：S₂=$\frac{m+{ρ}_{水}^{\;}（{h}_{1}^{\;}+{h}_{2}^{\;}）{S}_{1}^{\;}}{{h}_{2}^{\;}{ρ}_{水}^{\;}}$．
答：它能將閥門拉起的最小橫截面積S₂是$\frac{m+{ρ}_{水}^{\;}（{h}_{1}^{\;}+{h}_{2}^{\;}）{S}_{1}^{\;}}{{h}_{2}^{\;}{ρ}_{水}^{\;}}$．

點評 本題考查物體的受力分析和二力平衡的應用以及杠桿平衡條件的應用，難點是分析出物體靜止時的受力和分析出要將閥門拉起，浮子剛好全部沒入水中所需的最小浮力，即排開水的最小體積，因浮子高度是定值，進而求出浮子的最小底面積．