Question

如圖19所示，傾角θ=37°、電阻不計(jì)、間距L=0.3 m、長度足夠的平行導(dǎo)軌處，加有磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1 T、方向垂直于導(dǎo)軌平面（圖中未畫出）的勻強(qiáng)磁場，導(dǎo)軌兩端各接一個阻值R₀=2 Ω電阻.另一橫跨在平行導(dǎo)軌間的金屬棒質(zhì)量m=1 kg，電阻r=2 Ω，其與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)μ=0.5，金屬棒以平行于導(dǎo)軌向上的初速度v₀=10 m/s上滑，直至上升到最高點(diǎn)的過程中，通過上端電阻的電荷量Δq=0.1 C(g取10 m/s²，sin37°=0.6)，求：

圖19

（1）金屬棒的最大加速度

（2）上端電阻R₀上產(chǎn)生的熱量.

Answer 1

解析：根據(jù)題意分析可知導(dǎo)體棒在磁場中做切割磁感線運(yùn)動要產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，所以閉合回路中有感應(yīng)電流；由于導(dǎo)體棒有感應(yīng)電流，磁場反過來對通電導(dǎo)體棒又有安培力的作用.根據(jù)楞次定律得安培力的方向必與導(dǎo)體棒的運(yùn)動方向相反即沿斜面向下.在這里磁場力總要阻礙導(dǎo)體棒的運(yùn)動，所以速度將越來越小.速度減小，導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢也將減小，導(dǎo)體棒的電流也減小，磁場對導(dǎo)體棒的安培力減小，又安培力沿斜面向下，故導(dǎo)體棒所受的合外力減小.由以上分析可知，導(dǎo)體棒剛開始運(yùn)動的時候?qū)�體棒的加速度最大.

（1）導(dǎo)體棒運(yùn)動產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，整個回路等效于如右圖所示的電路.

    剛開始運(yùn)動時產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢：

E=Bv₀L=1×10×0.3 V=0.3 V

    整個回路的總電阻：

R_總=12R₀+r=3 Ω

    導(dǎo)體棒的電流為：

I==A=1 A

    導(dǎo)體棒所受的安培力：

F_安=BIL=1×1×0.3 N=0.3 N

導(dǎo)體棒所受的合外力：

F_合=F_安+mgsinθ+μmgcosθ=ma_m

    代入得：a_m= m/s²

=10.3 m/s².

（2）由于速度越來越小，所以安培力是一個變力.變力做功無法用W=Fs來求解，一般我們采用動能定理來求解.首先從題目的已知條件通過上端電阻的電荷量Δq=0.1 C可以求得導(dǎo)體棒向上移動的位移，從而再根據(jù)功能關(guān)系求得整個回路產(chǎn)生的總熱量Q_總.根據(jù)電荷量求得整個過程中的磁通量的變化，由q=Δt=Δt=B²l²v_tR+rΔt=Δt=

    由此可得：

ΔΦ=R_總q=R_總2Δq=0.6 Wb

    設(shè)導(dǎo)體棒向上移動的最大距離為s，則：s== m=2 m

    由于導(dǎo)體棒克服安培力所做的功全部轉(zhuǎn)化為熱能，由動能定理得：

-μmgcos37°s-mgsin37°s-Q_總=0-mv₀²

    代入得：Q_總=31 J

    三個電阻（兩個R₀和導(dǎo)體棒的電阻r）上的總熱量為30 J，純電阻電路產(chǎn)生的熱量Q=I²Rt，所以每個電阻上產(chǎn)生的熱量的分配與電路中電流的分配是一樣的.

    即=·Q_總=Q_總=5 J.

答案：（1）10.3 m/s²  （2）5 J