Question

（10分）為了紀念2008年奧運會的成功舉辦，某公司為某游樂園設計了如圖所示的玩具軌道，其中EC間的“2008”是用內壁光滑、透明的薄壁圓管彎成的豎直軌道，AB是豎直放置的光滑圓管軌道，B、E間是粗糙的水平平臺，管道B、E、C端的下表面在同一水平線上且切線均為水平方向�，F讓質量m=0.5Kg的閃光小球（可視為質點）從A點正上方的Q處自由落下，從A點進入軌道，依次經過圓管軌道AB、平臺BE和“8002”后從C點水平拋出。已知圓管軌道半徑=0.4m，“O”字形圓形軌道半徑=0.02m。Q點距A點高H=5m，到達“O”字形軌道最低點P時的速度為10m/s,，取g=10m/s²。求：

（1）小球到達O字形圓形軌道頂端N點時受到的軌道的彈力；

（2）在D點正上方高度為0.038m處設置一垂直于紙面粗細可不計的橫桿，若D到C的水平距離為0.1m，則小球應距A點正上方多高處釋放時，才能剛好能夠從橫桿上越過？

Answer 1

QP

解：（1）設小球到達“O”字形圓形軌道最低點P點時的速度為v₁，小球到達“O”字形圓形軌道頂端N點時的速度為v₂，受到軌道的壓力為F_N。

則小球從“O” 字形圓形軌道的最低點P到達“O” 字形圓形軌道的最高點N點的過程中，由機械能守恒得：①3分

當小球到達“O”字形圓形軌道頂端N點時，由牛頓第二定律得：  ② 3分

由①②解得

  …③  2分

（2）小球從最高處Q到管口A的過程中，只有重力做功，由管口A至經圓管軌道，然后沿彎管到達 “O” 字形圓形軌道的最低點P點的過程中，重力、摩擦力都做功。

即小球從最高處Q到達“O” 字形圓形軌道的最低點P點的過程中，由動能定理得：

……④    3分

由式解得)-=2.2J  …  ⑤      1分

根據題目給出數據，設小球下落至橫桿高度處下落的高度差為△h，對應所用時間，

…⑥       1分

為使小球剛好能夠從橫桿上越過(對應水平位移為x)，小球離開D點時的速度為

……⑦   1分

    設小球再次釋放時的高度為h，注意到小球在水平地面上運動時，摩擦力所做的

功仍為W_f，對從A點正上方開始下滑至C點的運動過程中，由

 ……⑧   3分

代入數據，得h=1.29m …… ⑨    1分