Question

1．如圖所示，C為一放在固定的粗糙水平桌面上的雙斜面，其質量m_C=6.5kg，頂端有一定滑輪，滑輪的質量及軸處的摩擦皆可不計，A和B是兩個滑塊，質量分別為m_A=3.0kg，m_B=0.50kg，由跨過定滑輪的不可伸長的輕繩相連，開始時設法抓住A、B和C，使它們都處在靜止狀態，且滑輪兩邊的輕繩恰好伸直，今用一大小等于26.5N的水平推力F作用于C，并同時釋放A、B和C，若C沿桌面向左滑行，其加速度a=3.0m/²，B相對于桌面無水平方向的位移（繩子一直是繃緊的），試求C與桌面間的μ．（圖中α=37°，β=53°，重力加速度g=10m/s²）

Answer 1

分析 抓住B開始時相對于桌面靜止，且以后在桌面上無水平方向的位移，得出B在水平方向的加速度，繩不可伸長，又不是繃緊的，根據平行四邊形定則得出A、B在水平方向和豎直方向的加速度與A、B相對C的加速度大小關系，從而求出A、B在水平方向和豎直方向上的加速度，對系統分析，通過水平方向和豎直方向上的加速度，結合動量定理求出滑動摩擦力和支持力，從而求出動摩擦因數．

解答 解：設a_A、a_B與a_A′、a_B′分別為A、B相對于桌面的加速度的大小和相對于C的加速度大小，設水平向右的x軸為正方向，豎直向上為y軸的正方向．
因為B開始時相對于桌面靜止，以后相對于桌面無水平方向的位移，可知a_B沿水平方向的分量為0，即
a_Bx=a_Bx′-a=0，
解得${a}_{Bx}′=a=3m/{s}^{2}$，
因繩不可伸長，又不是繃緊的，故有a_A′=a_B′，它們的方向分別沿所在的斜面，方向如圖所示，各分量的大小為：
a_Bx′=a_B′cos53°，
a_By′=a_B′sin53°，
a_Ax′=a_A′cos37°，
a_Ay′=-a_Asin37°，
由此得，${a}_{B}′={a}_{A}′=5m/{s}^{2}，{a}_{By}′=4m/{s}^{2}$，
${a}_{Ax}′=4m/{s}^{2}，{a}_{Ay}′=-3m/{s}^{2}$，
相對于各地面各加速度的分量大小為${a}_{Ax}={a}_{Ax}′-a=1m/{s}^{2}$，
${a}_{Ay}={a}_{Ay}′=-3m/{s}^{2}$，
a_By=a_By′=4m/s²，
對于由A、B和C組成的系統，在水平方向受到的外力是桌面對C的摩擦力f，方向向右，推力F，方向向左，根據動量定理得，
（f-F）△t=m_A△v_Ax+m_B△v_Bx-m_C△v，
或f-F=${m}_{A}\frac{△{v}_{Ax}}{△t}+{m}_{B}\frac{△{v}_{Bx}}{△t}-{m}_{C}\frac{△v}{△t}$，
即f-F=m_Aa_Ax+m_Ba_Bx-m_Ca，
代入數據解得f=10N．
系統在豎直方向上受到的外力是：桌面作用于C的彈力N，方向豎直向下，因此有：
[N-（m_A+m_B+m_C）g]△t=m_C△v_Cy+m_A△v_Ay+m_B△v_By，
則有N-（m_A+m_B+m_C）g=m_Ca_Cy+m_Aa_Ay+m_Ba_By，
代入數據解得N=93N．
則動摩擦因數$μ=\frac{f}{N}=\frac{10}{93}≈0.11$．
答：C與桌面間的μ為0.11．

點評 本題運用平行四邊形定則，結合相對加速度的大小求出A、B水平方向和豎直方向上的加速度是解決本題的關鍵，知道動量定理和牛頓第二定律的聯系，本題難度較大．