Question

地球的兩顆人造衛星質量之比m₁：m₂=1：2，圓周軌道半徑之比r₁：r₂=1：2．求：（1）線速度之比；（2）角速度之比；（3）運行周期之比；（4）向心力之比．

Answer 1

分析：（1）根據萬有引力充當向心力，產生的效果公式可得出線速度和軌道半徑的關系，可得結果；（2）根據圓周運動規律可得線速度和角速度以及半徑的關系，直接利用上一小題的結論，簡化過程；
（3）根據圓周運動規律可得運行周期和角速度之間的關系，直接利用上一小題的結論，簡化過程；（4）根據萬有引力充當向心力可得向心力和質量以及半徑的關系．

解答：解：設地球的質量為M，兩顆人造衛星的線速度分別為V₁、V₂，角速度分別為ω₁、ω₂，運行周期分別為T₁、T₂，向心力分別為F₁、F₂；
（1）根據萬有引力和圓周運動規律  G

mM

r2

=m

V2

r

  得 V=

GM r

∴

V1

V2

=

GM r1 GM r2

=

r2 r1

=

2 1

=

2

1

 故二者線速度之比為 

2

：1．
（2）根據圓周運動規律          v=ωr    得 ω=

v

r

      
∴

ω1

ω2

=

V1

V2

?

r2

r1

=

2 2

1

 故二者角速度之比為  2

2

：1．
（3）根據圓周運動規律       T=

2π

ω

            
∴

T1

T2

=

ω2

ω1

=

1

2 2

 故二者運行周期之比為  1：2

2

．
（4）根據萬有引力充當向心力公式  F=G

mM

r2

∴

F1

F2

=

m1

m2

?

r 2 2

r 2 1

=

2

1

 故二者向心力之比為 2：1．

點評：此題利用簡單的條件考查了人造衛星做圓周運動的線速度，角速度，周期和向心力之比．具有一定的遞進性質，可直接利用上一小題的結論簡化過程．如果不敢保證成功率，可以每一小題都用萬有引力和圓周運動規律的關系來解，不過都和第一小題類似，轉換公式的次數較多，且不易合理安排卷面．此為中檔題